Determine
integral 1raiz1-e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
integral 1raiz1 - e^2x,dx
Isso envolve uma raiz quadrada de expressão exponencial, então vamos usar primeiro a substituição t = e^x para simplificar a parte exponencial e depois uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz.

Passo 2

Façamos
t = e^x, dt = e^x,dx ;Longrightarrow; dx = dtt,
e note que
raiz1 - e^2x = raiz1 - t^2
Logo a integral vira
integral 1raiz1 - e^2x,dx = integral 1raiz1 - t^2cdotdtt = integral dt,t,raiz1 - t^2,

Passo 3

Para eliminar raiz1 - t^2, use a substituição trigonométrica
t = sintheta, dt = costheta,dtheta,
assim
t,raiz1 - t^2 = sinthetacdotcostheta
e a integral torna-se
integral costheta,dthetasinthetacostheta = integral dthetasintheta = integral csctheta,dtheta

Passo 4

Sabendo que
integral csctheta,dtheta = lnl|csctheta - cotthetar| + C,
substituímos de volta.

Passo 5

Temos
csctheta = 1sintheta = 1t = e^-x, cottheta = costhetasintheta = raiz1 - t^2t = raiz1 - e^2xe^x
Logo a primitiva é
ln!l|csctheta - cotthetar| + C = ln!l|tfrac1 - raiz1 - e^2xe^xr| + C
que, se quiser, pode ser reescrita como
lnl|1 - raiz1 - e^2xr| - x + C

Resposta

ln!l|1 - raiz1 - e^2xe^xr| + C

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