Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = 2y^2 + x y^2, y(0)=1
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem separável. Para resolver, vamos separar as variáveis y e x e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dydx = (2 + x),y^2 Longrightarrow dyy^2 = (2 + x),dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral dyy^2 = integral (2 + x),dx
No lado esquerdo integral y^-2dy = -,y^-1. No direito integral(2+x),dx = 2x + x^22 + C. Logo
-,1y = 2x + x^22 + C

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em -1/y = 2x + x^2/2 + C, obtemos
-1 = 0 + 0 + C Longrightarrow C = -1
Assim
-,1y = 2x + x^22 - 1

Passo 5

Multiplique por -1 e isole y:
1y = 1 - 2x - x^22 Longrightarrow y = 1,1 - 2x - tfracx^22,

Resposta

boxedy(x) = 11 - 2x - tfracx^22

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