Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2 - e^x3 + 2y,
com a condição inicial y(0)=0.
O conteúdo aqui é separação de variáveis para resolver ODEs.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
(3 + 2y),dy = (2 - e^x),dx

Passo 3

Integre cada lado:
integral (3 + 2y),dy = integral (2 - e^x),dx
O lado esquerdo dá
integral 3,dy + integral 2y,dy = 3y + y^2,
e o direito
integral 2,dx - integral e^x,dx = 2x - e^x + C
Logo a relação geral é
y^2 + 3y = 2x - e^x + C

Passo 4

Aplique a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 em
0^2 + 3cdot0 = 2cdot0 - e^0 + C
vem
0 = 0 - 1 + C Longrightarrow C = 1
Assim a solução implícita é
y^2 + 3y = 2x - e^x + 1

Passo 5

Resolva a equação quadrática em y:
y^2 + 3y - l(2x - e^x +1r) = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
y = -3 pm raiz9 + 4(2x - e^x +1)2 = -3 pm raiz13 + 8x - 4e^x2
Para x=0 e y(0)=0 escolhemos o sinal “ +” no discriminante.

Resposta

y(x) = -3 + raiz13 + 8x - 4e^x2

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