Calcule
integral x^2x^6+2 x^3+2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional
integral x^2x^6+2x^3+2,dx
O conteúdo aqui é usar uma substituição que simplifique o polinômio do denominador. Note que x^6+2x^3+2 pode ser visto como um quadrado perfeito em x^3 acrescido de constante.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^3Longrightarrow dt = 3x^2,dx
Logo
x^2,dx = 13,dt

Passo 3

Reescrevendo o denominador em função de t, temos
x^6+2x^3+2 = t^2 + 2t + 2 = (t+1)^2 + 1
Assim a integral vira
integral x^2x^6+2x^3+2,dx = 13integral dt(t+1)^2+1

Passo 4

Fazemos agora u = t + 1, de modo que du = dt. A integral passa a ser
13integral duu^2+1 = 13arctan(u) + C = 13arctan(t+1) + C
Voltando a x, isto é ,t = x^3.

Resposta

boxedintegral x^2x^6+2x^3+2,dx = 13arctanl(x^3+1r) + C

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