Determine a integral integral x^2x^4-1 d x
Escolha uma opção:
14 ln |x-1|-14 ln |x+1|+12 arctan x+C
Nenhuma das demais alternativas
-14 ln |x-1|+14 ln |x+1|-12 arctan x+C
-14 ln |x-1|-14 ln |x+1|+12 arctan x+C
14 ln |x-1|-14 ln |x+1|-12 arctan x+C
14 ln |x-1|+14 ln |x+1|+12 arctan x+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x^2x^4-1 , dx. A gente tá trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Pra resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais e um pouquinho de substituição trigonométrica. Vamos precisar dividir a fração e simplificar pra facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^4 - 1. Sabemos que x^4 - 1 pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
x^4 - 1 = (x^2)^2 - (1)^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)
Então, nossa integral fica:
integral x^2(x^2 - 1)(x^2 + 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais pra dividir essa fração em termos mais simples. Queremos escrever:
x^2(x^2 - 1)(x^2 + 1) = Ax^2 - 1 + Bx^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por (x^2 - 1)(x^2 + 1), temos:
x^2 = A(x^2 + 1) + B(x^2 - 1)
Simplificando:
x^2 = (A + B)x^2 + (A - B)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 1 A - B = 0
Resolvendo esse sistema, somando as duas equações:
2A = 1 implies A = 12
Substituindo em A - B = 0:
12 - B = 0 implies B = 12

Passo 5

Então, nossa integral fica:
integral ( 12x^2 - 1 + 12x^2 + 1 ) , dx = 12 integral 1x^2 - 1 , dx + 12 integral 1x^2 + 1 , dx

Passo 6

Vamos integrar cada parte separadamente. Para a primeira integral integral 1x^2 - 1 , dx, usamos a fórmula da integral de uma fração racional:
integral 1x^2 - a^2 , dx = 12a ln | x - ax + a | + C
Aqui, a = 1, então:
integral 1x^2 - 1 , dx = 12 ln | x - 1x + 1 | + C

Passo 7

Para a segunda integral integral 1x^2 + 1 , dx, sabemos que:
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x) + C

Passo 8

Voltando à nossa expressão original, temos:
12 ( 12 ln | x - 1x + 1 | ) + 12 arctan(x) + C
Simplificando, ficamos com:
14 ln | x - 1x + 1 | + 12 arctan(x) + C

Resposta

A resposta correta é:
14 ln |x-1| - 14 ln |x+1| + 12 arctan x + C

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