Determine a integral
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente tá trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Pra resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais e um pouquinho de substituição trigonométrica. Vamos precisar dividir a fração e simplificar pra facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Sabemos que pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar frações parciais pra dividir essa fração em termos mais simples. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema, somando as duas equações:
Substituindo em :
Passo 5
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos integrar cada parte separadamente. Para a primeira integral , usamos a fórmula da integral de uma fração racional:
Aqui, a = 1, então:
integral 1x^2 - 1 , dx = 12 ln | x - 1x + 1 | + C
Passo 7
Para a segunda integral integral 1x^2 + 1 , dx, sabemos que: