Use o critério de diferenciabilidade para verificar que as funções a seguir, são diferenciáveis em R^2 e calcule f^prime(x, y).
f(x, y)=x^2+y^2

Passo 1

A questão pede para verificar que a função f(x,y)=x²+y² é diferenciável em ℝ² usando o critério de que, se as derivadas parciais existem em um aberto que contém o ponto e são contínuas nele, então f é diferenciável. Também precisamos calcular o diferencial f′(x,y), ou seja, o jacobiano de f.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=2x,
partial fpartial y(x,y)=2y

Passo 3

As funções parciais 2x e 2y são polinomiais em (x,y), logo são contínuas em todo R^2. Pelo critério de diferenciabilidade, f é diferenciável em todo R^2.

Passo 4

O diferencial de f em (x,y) é a aplicação linear que a cada vetor (h,k) associa
L(h,k)=fx(x,y),h + fy(x,y),k = 2x,h + 2y,k
Em termos de matriz jacobiana, isso corresponde a
f'(x,y)=2x & 2y

Resposta

O jacobiano de f em (x,y) é
f'(x,y)=2x & 2y

Exercícios relacionados