Use o critério de diferenciabilidade para verificar que as funções a seguir, são diferenciáveis em
e calcule
.
Passo 1
A questão pede para verificar que a função f(x,y)=x²+y² é diferenciável em ℝ² usando o critério de que, se as derivadas parciais existem em um aberto que contém o ponto e são contínuas nele, então f é diferenciável. Também precisamos calcular o diferencial f′(x,y), ou seja, o jacobiano de f.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f:
Passo 3
As funções parciais 2x e 2y são polinomiais em (x,y), logo são contínuas em todo
. Pelo critério de diferenciabilidade, f é diferenciável em todo
.
Passo 4
O diferencial de f em
é a aplicação linear que a cada vetor
associa
Em termos de matriz jacobiana, isso corresponde a
Resposta
O jacobiano de f em (x,y) é