Determine se a integral abaixo é ou não convergente. Caso seja convergente, calcule o resultado da integral.
integral0^infty d xx^2+2 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede pra gente verificar se ela converge ou não, e se convergir, qual é o valor dela. A integral é:
integral0^infty dxx^2+2x+4
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de integração como completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. A expressão x^2 + 2x + 4 pode ser reescrita completando o quadrado:
x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3
Isso porque (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1, então adicionamos 3 para chegar a 4.

Passo 3

Substituindo de volta na integral, ela fica assim:
integral0^infty dx(x + 1)^2 + 3
Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar u = x + 1, então du = dx. Quando x = 0, u = 1, e quando x to infty, u to infty. A integral vira:
integral1^infty duu^2 + 3

Passo 4

Sabemos que a integral de 1u^2 + a^2 em relação a u é 1a arctan(ua) + C. Aqui, a^2 = 3, então a = raiz3. Aplicando isso:
integral duu^2 + 3 = 1raiz3 arctan(uraiz3) + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a infty:
1raiz3 arctan(uraiz3) |1^infty = 1raiz3 [ arctan(inftyraiz3) - arctan(1raiz3) ]
Sabemos que arctan(infty) = pi2 e arctan(1raiz3) = pi6.

Passo 6

Substituindo esses valores:
1raiz3 ( pi2 - pi6 ) = 1raiz3 ( pi3 ) = pi3raiz3

Resposta

A integral é convergente e seu valor é dfracpi3raiz3.

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