Determine se a integral abaixo é ou não convergente. Caso seja convergente, calcule o resultado da integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que pede pra gente verificar se ela converge ou não, e se convergir, qual é o valor dela. A integral é:
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de integração como completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. A expressão
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso porque
, então adicionamos 3 para chegar a 4.
Passo 3
Substituindo de volta na integral, ela fica assim:
Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral vira:
Passo 4
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Aqui,
, então
. Aplicando isso:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que
arctan(infty) = pi2 e
arctan(1raiz3) = pi6 .
Passo 6
Substituindo esses valores:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
dfracpi3raiz3 .