Resolva a EDO
x y^prime prime-4 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
x,y'' - 4,y' = 0
Esse tipo de equação não envolve diretamente y, apenas y' e y'', então vamos usar redução de ordem definindo p = y'.

Passo 2

Definindo p = y' temos y'' = p'. Substituindo na EDO original:
x,p' - 4,p = 0
Agora é uma equação de primeira ordem em p(x).

Passo 3

Reescrevendo x,p' - 4,p = 0 como separável, dividimos por x,p (supondo xneq0 e pneq0):
p'p = 4x
Integramos ambos os lados:
integral p'p,dx = integral 4x,dx
ln|p| = 4ln|x| + C1
p(x) = C1,x^4 .

Passo 4

Como p = y', temos
y' = C1,x^4
Integrando em relação a x:
y(x) = integral C1,x^4,dx = C1 x^55 + C2
Aqui surgem duas constantes de integração C1 e C2.

Passo 5

Para simplificar, renomeamos as constantes: seja A = C1/5 e B = C2. Assim, a solução geral fica
y(x) = A,x^5 + B

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = A,x^5 + B,
onde A e B são constantes arbitrárias.

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