CONSIDERE UMA CORDA ELÁSTICA DE COMPRIMENTO 8 COM AMBAS AS EXTREMIDADES livres. Isto é, as condições de contorno são u_{x}(0, t)=0\) e \(u_{x}(8, t)=0\). A corda É COLOCADA EM MOVIMENTO COM VELOCIDADE INICIAL \(u_{t}(x, 0)=0\) PARA \(0 \leq x \leq 8\), E COM DESLOCAMENTO INICIAL \(u(x, 0)=f(x)\), ONDE: \[f(x)= \begin{cases}2, & 2 \leq x \leq 4 \\\\ 6, & 4<x \leq 6 \\\\ 0, & \text { OUTROS INTERVALOS EM }[0,8] .\end{cases}
Sabendo que a equação diferencial parcial que rege o movimento da onda é DADA POR
u_{t t}=a^{2} u_{x x},
encontre o deslocamento (u(x, t)], MOSTRANDO TODOS OS PASSOS.

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento u(x,t)\) de uma corda de comprimento \(8\) satisfazendo a equação da onda \[u_{t t}=a^{2}u_{x x},
com condições de contorno de extremidades livres
u_{x}(0,t)=0,\qquad u_{x}(8,t)=0,
condição inicial de velocidade nula
u_{t}(x,0)=0\quad\text{para }0\le x\le 8,
e condição inicial de deslocamento dada por u(x,0)=f(x), onde
f(x)=\begin{cases} 2,&2\le x\le 4,\\[4pt] 6,&4<x\le 6,\\[4pt] 0,&\text{outros }x\in[0,8]. \end{cases}
O que se pede: encontrar explicitamente u(x,t)\] para \(x\in[0,8] e t\ge0, mostrando todos os passos.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem fazer contas ainda).
  • A equação e as condições iniciais lembram a solução de d’Alembert para a onda numa reta inteira. A solução de d’Alembert para dados iniciais u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x) na reta inteira é
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+at)+f(x-at)\bigr)+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{\,x+at} g(s)\,ds.
  • Aqui g(x)=0 (velocidade inicial nula), então a segunda parcela some e resta a média dos dois impulsos que viajam esquerda/direita.
  • Contudo, estamos num segmento finito [0,8] com condições de Neumann (extremidades livres). Essas condições equivalem, pelo princípio da reflexão, a estender os dados iniciais f de [0,8] para toda a reta de modo par (simétrico) em relação às fronteiras e com período 16 (reflexões sucessivas). Assim basta aplicar d’Alembert na reta inteira usando essa extensão par e periódica.
  • Portanto vamos: (i) escrever d’Alembert (com g=0); (ii) construir a extensão F de f para \mathbb{R} que é par em relação a x=0 e x=8 (o que equivale a uma função periódica de período 16 obtida por reflexões); (iii) colocar a expressão final u(x,t)=\tfrac12\bigl(F(x+at)+F(x-at)\bigr) e explicar como calcular F explicitamente a partir de f.

Passo 3

Derivando a fórmula de d’Alembert adequada ao caso (passo didático sobre a fórmula).
  • Na reta inteira, a solução geral para a equação da onda com dados u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x) é
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+at)+f(x-at)\bigr)+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{\,x+at} g(s)\,ds.
Explicando cada termo:
  • f(x\pm at) representa dois sinais inicialmente presentes que se deslocam sem deformação com velocidade \pm a: um para a direita (argumento x-at) e outro para a esquerda (argumento x+at).
  • O termo integral representa contribuição da velocidade inicial g; aqui g\equiv0, então essa contribuição é zero.
  • Com g\equiv0 obtemos a forma simples
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+at)+f(x-at)\bigr),
válida na reta inteira quando f está definida em \mathbb{R}.

Passo 4

Como impor as condições de contorno (construção da extensão [F)).
  • Para que a solução no segmento satisfaça u_x(0,t)=0 e u_x(8,t)=0 para todo t, é suficiente que a função inicial usada na fórmula de d’Alembert seja uma extensão F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de f que seja par em relação a x=0 e em relação a x=8. Isso é a mesma ideia física: uma extremidade livre reflete as ondas sem inversão de sinal (reflexão par).
  • Uma maneira simples de descrever F é: construir F como extensão periódica de período 16 obtida por refletir f no intervalo [0,8] para formar uma função em [0,16] e depois repetir com período 16.
  • Concretamente: para qualquer y\in\mathbb{R}, defina r o resto de divisão de y por 16 (escolhendo r\in[0,16)). Então
F(y)=\begin{cases} f(r),& 0\le r\le 8,\\[4pt] f(16-r),& 8< r<16. \end{cases}
Isto significa: se o ponto reduzido r\] cai no primeiro intervalo \([0,8] usa-se f(r); se cai no segundo meio (8,16) usa-se a reflexão f(16-r). Assim F é par em relação a 0 e a 8 e tem período 16.
  • Observação pedagógica: essa construção garante F(-y)=F(y) (simetria em 0) e F(8+y)=F(8-y) (simetria em 8), logo a solução d’Alembert com F satisfaz as condições de Neumann.]

Passo 5

Aplicando d’Alembert com a extensão [F): fórmula final e como avaliá-la.
  • Usando a extensão F descrita, a solução procurada no segmento [0,8] é, para t\ge0,
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(F(x+at)+F(x-at)\bigr).
  • Para calcular F em um argumento genérico y procede-se assim:
    1. Calcular r\in[0,16) tal que r\equiv y\pmod{16} (ou seja, r é o resto de y na divisão por 16).
    2. Se 0\le r\le 8 então F(y)=f(r).
    3. Se 8<r<16 então F(y)=f(16-r).
  • Como f é uma combinação de indicadores, escrevemos
f(s)=2\mathbf{1}_{[2,4]}(s)+6\mathbf{1}_{(4,6]}(s),
onde \mathbf{1}_A é a função indicadora do conjunto A.
  • Portanto, para qualquer x,t,
u(x,t)=\frac{1}{2}\Bigl(2\,\mathbf{1}_{[2,4]}\bigl(\varphi(x+at)\bigr)+6\,\mathbf{1}_{(4,6]}\bigl(\varphi(x+at)\bigr) +2\,\mathbf{1}_{[2,4]}\bigl(\varphi(x-at)\bigr)+6\,\mathbf{1}_{(4,6]}\bigl(\varphi(x-at)\bigr)\Bigr),
onde a função \varphi:\mathbb{R}\to[0,8] é a “redução por reflexão” dada por: calcular r\in[0,16) congruente a entrada modulo 16 e então
\varphi(y)=\begin{cases} r,&0\le r\le 8,\\[4pt] 16-r,&8<r<16. \end{cases}
  • Em palavras: u(x,t)\] é a média de dois pulsos que viajam em sentidos opostos com velocidade \(a; cada pulso é a extensão reflexa e periódica do pulso inicial f.]

Passo 6

Interpretação prática e como usar essa fórmula na prova (exemplos rápidos).
  • Na prova: para obter u(x,t) num ponto concreto (x,t) faça:
    1. Calcule y_+=x+at e y_-=x-at.
    2. Reduza y_+ e y_- módulo 16 para obter r_+,r_-\in[0,16).
    3. Se r_+\in[0,8] então \varphi(y_+)=r_+ senão \varphi(y_+)=16-r_+. Mesmo para y_-.
    4. Verifique em que intervalo [2,4], (4,6] ou outro \varphi(y_\pm) cai; aplique o valor 2, 6 ou 0 correspondentes.
    5. Faça a média \tfrac12(\text{valor em }y_+ + \text{valor em }y_-).
  • Exemplo rápido ilustrativo (sem números específicos): se \varphi(x+at)\in[2,4] e \varphi(x-at)\in(4,6], então
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(2+6\bigr)=4.
  • Isso corresponde à física: se um pulso de amplitude 2 e outro de amplitude 6 se sobrepõem, deslocamento é média (porque velocidade inicial nula).

Passo 7

Escrever a resposta final de forma compacta e precisa (pronta para consulta rápida).
Definindo \varphi:\mathbb{R}\to[0,8]\) por: para cada \(y\) tome \(r\in[0,16)\) tal que \(r\equiv y\pmod{16}\) e \[\varphi(y)=\begin{cases} r,&0\le r\le 8,\\[4pt] 16-r,&8<r<16, \end{cases}
e lembrando que
f(s)=2\mathbf{1}_{[2,4]}(s)+6\mathbf{1}_{(4,6]}(s),
temos finalmente, para x\in[0,8]\] e \(t\ge0,
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(\varphi(x+at))+f(\varphi(x-at))\bigr).]

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(\varphi(x+at))+f(\varphi(x-at))\bigr),
onde f é a função inicial dada e \varphi é a redução por reflexão definida assim: para cada y\in\mathbb{R} tome r\in[0,16) com r\equiv y\pmod{16} e
\varphi(y)=\begin{cases} r,&0\le r\le 8,\\[4pt] 16-r,&8<r<16. \end{cases}]

Exercícios relacionados