Determine a integral de cada função abaixo
int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Nos dão a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.
  • A variável de integração é x.
  • a é um parâmetro (constante) presente na expressão.
  • O que se pede é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.
  • Observação sobre domínio: a expressão embaixo da raiz pede que a^{2}-x^{2}>0, portanto consideramos as x tais que |x|<|a| (isso garante que a raiz é real).

Passo 2

Idea básica (sem ainda resolver): uma forma simples de lidar com raízes do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} é normalizar a expressão dividindo x por a — isso transforma a raiz numa forma padrão \sqrt{1-u^{2}}, cuja primitiva é conhecida. Agora vamos fazer essa mudança de variável passo a passo.

Passo 3

Fazendo a substituição de escala. Defina a nova variável
u=\frac{x}{a}.
Então
du=\frac{dx}{a}\quad\text{ou}\quad dx=a\,du.
Também transformamos o radicando:
a^{2}-x^{2}=a^{2}-a^{2}u^{2}=a^{2}(1-u^{2}).

Passo 4

Substitua tudo na integral original. Temos
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \int \frac{a\,du}{\sqrt{a^{2}(1-u^{2})}} = \int \frac{a\,du}{a\sqrt{1-u^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}.
A integral ficou na forma padrão \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 5

Conhecendo a primitiva padrão. Uma fórmula fundamental que precisamos aqui é a derivada da função arco-seno. Se definirmos y=\arcsin(u), então \sin y=u. Diferenciando implicitamente em relação a u obtemos
\cos y\,\frac{dy}{du}=1\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{du}=\frac{1}{\cos y}.
Como \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-u^{2}}, segue que
\frac{d}{du}\bigl(\arcsin(u)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} é \arcsin(u).

Passo 6

Retornando à variável x. Usando o resultado do passo anterior aplicando-o à nossa integral em u, obtemos
\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=\arcsin(u)+C.
Volta substituindo u=\dfrac{x}{a}:
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.

Passo 7

Checagem rápida por derivação (para você saber aplicar na prova): calcule a derivada de \arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right).
\frac{d}{dx}\left[\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)\right] =\frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{a}\right) =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}\cdot\frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}}}}\cdot\frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.
A derivada coincide com o integrando, então a primitiva está correta.

Passo 8

Observações finais e atenção na prova:
  • Lembre-se de que a resposta é válida quando |x|<|a| (raízes reais).
  • Em muitos exercícios o professor assume a>0; nesse caso fica ainda mais natural pensar em |x|<a.
  • Um exemplo concreto para treinar: se a=2, então \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{4-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C

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