Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Nos dão a integral indefinida
. - A variável de integração é
. -
é um parâmetro (constante) presente na expressão. - O que se pede é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Observação sobre domínio: a expressão embaixo da raiz pede que
, portanto consideramos as tais que (isso garante que a raiz é real).
Passo 2
Idea básica (sem ainda resolver): uma forma simples de lidar com raízes do tipo
é normalizar a expressão dividindo
por
— isso transforma a raiz numa forma padrão
, cuja primitiva é conhecida. Agora vamos fazer essa mudança de variável passo a passo.
Passo 3
Fazendo a substituição de escala. Defina a nova variável
Então
Também transformamos o radicando:
Passo 4
Substitua tudo na integral original. Temos
A integral ficou na forma padrão
.
Passo 5
Conhecendo a primitiva padrão. Uma fórmula fundamental que precisamos aqui é a derivada da função arco-seno. Se definirmos
, então
. Diferenciando implicitamente em relação a
obtemos
Como
, segue que
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 6
Retornando à variável
. Usando o resultado do passo anterior aplicando-o à nossa integral em
, obtemos
Volta substituindo
:
Passo 7
Checagem rápida por derivação (para você saber aplicar na prova): calcule a derivada de
.
A derivada coincide com o integrando, então a primitiva está correta.
Passo 8
Observações finais e atenção na prova:
- Lembre-se de que a resposta é válida quando
(raízes reais). - Em muitos exercícios o professor assume
; nesse caso fica ainda mais natural pensar em . - Um exemplo concreto para treinar: se
, então .