Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e hipóteses que vamos usar:
é a variável de integração,
é uma constante real; é necessário ter
porque se
o integrando seria
, que é outro caso. A resposta deve ser uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): perceba que a derivada da função arcotangente tem forma parecida com o integrando. A regra de diferenciação que vamos usar é a regra da cadeia: se
é uma função de
e
é função de
, então
No caso concreto, a derivada da função
em relação a
é
Vou aplicar isso com
para ligar com
.
Passo 3
Calcule a derivada de
usando a regra da cadeia. Tome
. Então
. Aplicando a derivada da arcotangente,
Passo 4
Simplifique a expressão da derivada obtida em
Passo 3. Primeiro calcule
:
Portanto
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
A partir do resultado anterior, vemos que a derivada de
é exatamente o integrando:
Isso mostra que
é uma primitiva de
.
Passo 6
Conclusão pela observação da derivada: para
temos
onde
é a constante de integração. (Escrevi a condição
porque usei
de forma direta; no caso geral
é conveniente usar valor absoluto.)
Passo 7
Método alternativo (substituição trigonométrica) — explicação didática e demonstração: faça a substituição trigonométrica
então
Substituindo no denominador,
O integrando vira
Passo 8
Volte à variável
usando
. Assim a primitiva obtida pelo método trigonométrico é
confirmando o resultado do método anterior.
Passo 9
Observação sobre o sinal de
: se
é mais claro escrever a resposta usando
. Uma forma correta e válida para todo
é
No entanto, para
a forma
é a mais usada.