Determine a integral de cada função abaixo
int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar: x é a variável de integração, a é uma constante real; é necessário ter a\neq0 porque se a=0 o integrando seria 1/x^{2}, que é outro caso. A resposta deve ser uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): perceba que a derivada da função arcotangente tem forma parecida com o integrando. A regra de diferenciação que vamos usar é a regra da cadeia: se F(u) é uma função de u e u=u(x) é função de x, então
\frac{d}{dx}F(u(x))=F'(u(x))\cdot u'(x).
No caso concreto, a derivada da função \arctan(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Vou aplicar isso com u=\dfrac{x}{a} para ligar com x^{2}+a^{2}.

Passo 3

Calcule a derivada de \arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big) usando a regra da cadeia. Tome u(x)=\dfrac{x}{a}. Então u'(x)=\dfrac{1}{a}. Aplicando a derivada da arcotangente,
\frac{d}{dx}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{a}.

Passo 4

Simplifique a expressão da derivada obtida em \#Passo 3. Primeiro calcule 1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}:
1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}=\frac{a^{2}+x^{2}}{a^{2}}.
Portanto
\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{1}{a} obtemos
\frac{d}{dx}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{a}{a^{2}+x^{2}}.

Passo 5

A partir do resultado anterior, vemos que a derivada de \dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big) é exatamente o integrando:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)\right)=\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{x^{2}+a^{2}}.
Isso mostra que \dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big) é uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Conclusão pela observação da derivada: para a>0 temos
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde C é a constante de integração. (Escrevi a condição a>0 porque usei 1/a de forma direta; no caso geral a\neq0 é conveniente usar valor absoluto.)

Passo 7

Método alternativo (substituição trigonométrica) — explicação didática e demonstração: faça a substituição trigonométrica
x=a\tan\theta,
então
dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Substituindo no denominador,
x^{2}+a^{2}=a^{2}\tan^{2}\theta+a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
O integrando vira
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\int \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta}=\int \frac{1}{a}\,d\theta=\frac{1}{a}\theta+C.

Passo 8

Volte à variável x usando \theta=\arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big). Assim a primitiva obtida pelo método trigonométrico é
\frac{1}{a}\theta+C=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
confirmando o resultado do método anterior.

Passo 9

Observação sobre o sinal de a: se a<0 é mais claro escrever a resposta usando |a|. Uma forma correta e válida para todo a\neq0 é
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{|a|}\arctan\!\left(\frac{x}{|a|}\right)+C.
No entanto, para a>0 a forma \dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big)+C é a mais usada.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C\quad (a>0)

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