Determine a integral de cada função abaixo
int \frac{1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função \dfrac{1}{x}.
Informações dadas: a função integranda é \dfrac{1}{x} e está definida para x\neq 0. O que se espera é uma primitiva (ou antiderivada) F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{x} em cada intervalo onde a função é definida.

Passo 2

Primeira observação importante (muito útil na prova): a função \dfrac{1}{x} não está definida em x=0. Por isso devemos encontrar primitivas em cada intervalo em que a função é contínua: um para x>0 e outro para x<0. Mais adiante vamos juntar as duas respostas de forma elegante.

Passo 3

Vamos encontrar uma primitiva para x>0. Lembre que \ln(x) (logaritmo natural) está definido para x>0. Uma maneira simples de ver que \ln(x) é uma primitiva é usar a relação entre funções inversas: se y=\ln(x) então x=e^{y}. Diferenciando ambos os lados em relação a x (via derivada implícita) obtemos
\frac{d}{d x}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}.
Explicando passo a passo: escrevemos y=\ln(x), então x=e^{y}. Derivando x em relação a y \dfrac{d x}{d y}=e^{y}=x. Invertendo esta derivada obtemos \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{x}, isto é \dfrac{d}{d x}\bigl(\ln(x)\bigr)=\dfrac{1}{x}. Portanto, para x>0,
\int \frac{1}{x}\,d x=\ln(x)+C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 4

Agora o caso x<0. Para números negativos não faz sentido usar \ln(x), mas faz sentido usar \ln(-x) porque -x>0 quando x<0. Vamos verificar que \ln(-x) é primitiva de 1/x em x<0. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{d x}\bigl(\ln(-x)\bigr)=\frac{1}{-x}\cdot\frac{d(-x)}{d x}=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.
Portanto, para x<0,
\int \frac{1}{x}\,d x=\ln(-x)+C_2,
onde C_2 é constante de integração.

Passo 5

Juntando os dois casos, existe uma maneira compacta e padrão de escrever a primitiva válida em qualquer intervalo onde x\neq 0: usar valor absoluto. Note que \ln|x| equivale a \ln(x) quando x>0 e a \ln(-x) quando x<0. Além disso, a derivada de \ln|x| (para x\neq 0) é
\frac{d}{d x}\bigl(\ln|x|\bigr)=\frac{1}{x},
porque em cada ramo positivo/negativo já verificamos isso. Assim a primitiva geral é \ln|x|+C, com C constante de integração. Atenção: não existe uma primitiva única válida atravessando x=0 (a função primitiva será sempre definida por partes), mas a notação \ln|x|+C é o jeito padrão e correto de apresentar a resposta da integral indefinida.

Passo 6

Checagem rápida (sempre faça isto na prova): derivando a resposta confirmamos a integrandade. Se F(x)=\ln|x|+C então F'(x)=1/x para todo x\neq 0. Isso prova que F é uma primitiva de 1/x.

Resposta

\ln|x|+C

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