Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
.
Informações dadas: a função integranda é e está definida para
. O que se espera é uma primitiva (ou antiderivada)
tal que
em cada intervalo onde a função é definida.
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Primeira observação importante (muito útil na prova): a função
não está definida em
. Por isso devemos encontrar primitivas em cada intervalo em que a função é contínua: um para
e outro para
. Mais adiante vamos juntar as duas respostas de forma elegante.
Passo 3
Vamos encontrar uma primitiva para
. Lembre que
(logaritmo natural) está definido para
. Uma maneira simples de ver que
é uma primitiva é usar a relação entre funções inversas: se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(via derivada implícita) obtemos
Explicando passo a passo: escrevemos
, então
. Derivando
em relação a
dá
. Invertendo esta derivada obtemos
, isto é
. Portanto, para
,
onde
é constante de integração.
Passo 4
Agora o caso
. Para números negativos não faz sentido usar
, mas faz sentido usar
porque
quando
. Vamos verificar que
é primitiva de
em
. Usando a regra da cadeia:
Portanto, para
,
onde
é constante de integração.
Passo 5
Juntando os dois casos, existe uma maneira compacta e padrão de escrever a primitiva válida em qualquer intervalo onde
: usar valor absoluto. Note que
equivale a
quando
e a
quando
. Além disso, a derivada de
(para
) é
porque em cada ramo positivo/negativo já verificamos isso. Assim a primitiva geral é
, com
constante de integração. Atenção: não existe uma primitiva única válida atravessando
(a função primitiva será sempre definida por partes), mas a notação
é o jeito padrão e correto de apresentar a resposta da integral indefinida.
Passo 6
Checagem rápida (sempre faça isto na prova): derivando a resposta confirmamos a integrandade. Se
então
para todo
. Isso prova que
é uma primitiva de
.