Determine a integral de cada função abaixo
int \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função. As informações dadas são:
  • Calcular \int \sin x \, dx.
  • Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos escolher um método simples e direto: substituição. A ideia é transformar a integral em uma forma fácil de integrar. Observa que a derivada de \cos x está relacionada com \sin x (essa observação motiva a substituição que vamos fazer).

Passo 3

Faça a substituição
u = \cos x.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x para relacionar du com dx:
du = -\sin x \, dx.
Isolando \sin x \, dx obtemos
\sin x \, dx = -\,du.
Aqui u é uma nova variável que representa \cos x; du é seu diferencial.

Passo 4

Substitua na integral original usando \sin x \, dx = -\,du:
\int \sin x \, dx = \int (-\,du) = -\int du.
A integral de du em relação a u é simplesmente u (pois a derivada de u em relação a u é 1). Portanto
- \int du = -u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volte à variável original substituindo u = \cos x:
- u + C = -\cos x + C.
Esse é o resultado da integral indefinida.

Passo 6

Vamos checar o resultado diferenciando para garantir que é correto. Diferenciando -\cos x + C em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x + C\bigr) = -\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr) + 0 = -(-\sin x) = \sin x.
Usamos aqui que \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x. Como a derivada do resultado é exatamente \sin x, a antiderivada está correta.

Resposta

-\cos x + C

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