Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função. As informações dadas são:
- Calcular
. - Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos escolher um método simples e direto: substituição. A ideia é transformar a integral em uma forma fácil de integrar. Observa que a derivada de
está relacionada com
(essa observação motiva a substituição que vamos fazer).
Passo 3
Faça a substituição
Agora derivamos ambos os lados em relação a
para relacionar
com
:
Isolando
obtemos
Aqui
é uma nova variável que representa
;
é seu diferencial.
Passo 4
Substitua na integral original usando
:
A integral de
em relação a
é simplesmente
(pois a derivada de
em relação a
é
). Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volte à variável original substituindo
:
Esse é o resultado da integral indefinida.
Passo 6
Vamos checar o resultado diferenciando para garantir que é correto. Diferenciando
em relação a
:
Usamos aqui que
. Como a derivada do resultado é exatamente
, a antiderivada está correta.