Determine a integral de cada função abaixo
int e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função e^{x}.
Dados relevantes: a função a integrar é \,e^{x}\, e a variável de integração é x. Não há limites (é uma primitiva/integração indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

O que significa “achar a integral indefinida” (ou primitiva)?
Uma função F(x) é primitiva de f(x) se, ao derivarmos F, obtemos f:
\frac{d}{dx}F(x)=f(x).
Portanto, ao procurar \int f(x)\,dx estamos procurando alguma F(x) tal que \frac{d}{dx}F(x)=f(x). Além disso, como qualquer constante some na derivada, a primitiva é determinada apenas até uma constante arbitrária C.

Passo 3

Propriedade básica que vamos usar: a função exponencial com base e tem a derivada igual a si mesma. Ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Isso é verdade porque a base e foi escolhida exatamente para que a exponencial seja sua própria derivada (pode-se demonstrar pela definição do número e ou por limites, mas aqui usamos esse fato conhecido).

Passo 4

Como \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}, concluímos que e^{x} é uma primitiva de e^{x}. Logo a integral indefinida é
\int e^{x}\,dx=e^{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar seguro): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+C\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}C=e^{x}+0=e^{x},
o que confirma que e^{x}+C é realmente uma primitiva de e^{x}.

Passo 6

Dica útil e generalização (para provas): se tiver \int e^{a x}\,dx com constante a\neq 0, use substituição u=ax, du=a\,dx, e obtém-se
\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C.
Exemplo concreto: \int e^{2x}\,dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C.

Passo 7

Resumo prático para decorar: a derivada de e^{x} é e^{x}, então a integral de e^{x} é ela mesma mais constante. Não esqueça do +C!

Resposta

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

Exercícios relacionados