Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
.
Dados relevantes: a função a integrar é e a variável de integração é
. Não há limites (é uma primitiva/integração indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Dados relevantes: a função a integrar é
Passo 2
O que significa “achar a integral indefinida” (ou primitiva)?
Uma função é primitiva de
se, ao derivarmos
, obtemos
:
Uma função
Portanto, ao procurar
estamos procurando alguma
tal que
. Além disso, como qualquer constante some na derivada, a primitiva é determinada apenas até uma constante arbitrária
.
Passo 3
Propriedade básica que vamos usar: a função exponencial com base
tem a derivada igual a si mesma. Ou seja,
Isso é verdade porque a base
foi escolhida exatamente para que a exponencial seja sua própria derivada (pode-se demonstrar pela definição do número
ou por limites, mas aqui usamos esse fato conhecido).
Passo 4
Como
, concluímos que
é uma primitiva de
. Logo a integral indefinida é
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (para ficar seguro): derivando o resultado obtemos
o que confirma que
é realmente uma primitiva de
.
Passo 6
Dica útil e generalização (para provas): se tiver
com constante
, use substituição
,
, e obtém-se
Exemplo concreto:
.
Passo 7
Resumo prático para decorar: a derivada de
é
, então a integral de
é ela mesma mais constante. Não esqueça do
!