Determine a integral de cada função abaixo
int x^{n} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (a integral indefinida) da função \int x^{n}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração é x.
  • n é um expoente que aparece como parâmetro (suponha que seja um número real).
  • Queremos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x^{n}.
  • Lembre-se de que toda primitiva precisa do termo constante de integração C.

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): para achar uma primitiva de uma potência de x a estratégia natural é usar a regra da potência (power rule) para derivadas “ao contrário”. Vou usar o fato conhecido sobre derivadas que diz: se você tem \(x^{k}) então
\frac{d}{dx} \left( x^{k} \right) = k\,x^{k-1},
onde k é um número real. Isso significa que, se eu procurar uma função cuja derivada seja x^{n}, posso tentar uma potência de x com expoente ajustado para que, ao derivar, eu obtenha x^{n}.

Passo 3

Construindo um candidato: suponha que a primitiva tenha a forma \displaystyle F(x)=A\,x^{m}, com constantes A e m a determinar. Então, pela regra da potência,
F'(x)=A\cdot m\,x^{m-1}.
Queremos F'(x)=x^{n}. Igualando expoentes e coeficientes, uma escolha natural é fazer m-1=n, ou seja m=n+1. Com isso o coeficiente fica A\cdot (n+1) e queremos que ele seja 1. Logo escolhemos A=\dfrac{1}{n+1}. Assim obtemos o candidato
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Verificação do candidato (passo a passo e sem pular etapas): calcule a derivada do candidato \displaystyle F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}. Usando que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada, e a regra da potência,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}\cdot (n+1)\,x^{(n+1)-1}=\;x^{n}.
Portanto esse F(x) é mesmo uma primitiva de x^{n}, desde que a operação faça sentido (ou seja, n+1\neq 0).

Passo 5

Condição necessária: notamos que no passo anterior dividimos por n+1. Logo a construção funciona quando \;n+1\neq 0, isto é, quando \;n\neq -1. Para \;n\neq -1 a primitiva geral é a que verificamos (lembrando de adicionar C).

Passo 6

Caso especial \;n=-1: quando n=-1 a integral fica
\int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx.
A primitiva de 1/x não é da forma anterior (pois haveria divisão por zero). Sabemos que a derivada de \ln(x) para x>0 é 1/x. Para cobrir também x<0 usamos o logaritmo natural do valor absoluto: a derivada de \ln|x| é 1/x para todo x\neq 0. Portanto, para n=-1 a primitiva é \ln|x|+C.

Passo 7

Alguns exemplos curtos para fixar:
  • Se n=2, então \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.
  • Se n=0, então \int x^{0}\,dx=\int 1\,dx = x + C.
  • Se n=-2, então \int x^{-2}\,dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=-\dfrac{1}{x}+C.

Resposta

\displaystyle \text{Se }n\neq -1:\quad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
\displaystyle \text{Se }n=-1:\quad \int x^{n}\,dx=\ln|x|+C

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