Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (a integral indefinida) da função
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração é
. -
é um expoente que aparece como parâmetro (suponha que seja um número real). - Queremos encontrar uma função
tal que . - Lembre-se de que toda primitiva precisa do termo constante de integração
.
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): para achar uma primitiva de uma potência de
a estratégia natural é usar a regra da potência (power rule) para derivadas “ao contrário”. Vou usar o fato conhecido sobre derivadas que diz: se você tem
) então
onde
é um número real. Isso significa que, se eu procurar uma função cuja derivada seja
, posso tentar uma potência de
com expoente ajustado para que, ao derivar, eu obtenha
.
Passo 3
Construindo um candidato: suponha que a primitiva tenha a forma
, com constantes
e
a determinar. Então, pela regra da potência,
Queremos
. Igualando expoentes e coeficientes, uma escolha natural é fazer
, ou seja
. Com isso o coeficiente fica
e queremos que ele seja
. Logo escolhemos
. Assim obtemos o candidato
Passo 4
Verificação do candidato (passo a passo e sem pular etapas): calcule a derivada do candidato
. Usando que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada, e a regra da potência,
Portanto esse
é mesmo uma primitiva de
, desde que a operação faça sentido (ou seja,
).
Passo 5
Condição necessária: notamos que no passo anterior dividimos por
. Logo a construção funciona quando
, isto é, quando
. Para
a primitiva geral é a que verificamos (lembrando de adicionar
).
Passo 6
Caso especial
: quando
a integral fica
A primitiva de
não é da forma anterior (pois haveria divisão por zero). Sabemos que a derivada de
para
é
. Para cobrir também
usamos o logaritmo natural do valor absoluto: a derivada de
é
para todo
. Portanto, para
a primitiva é
.
Passo 7
Alguns exemplos curtos para fixar:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .