Determine a integral de cada função abaixo
int \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede: calcular a integral indefinida da função \displaystyle \int \operatorname{cosh} x \, dx.
Informações dadas: a integranda é \operatorname{cosh} x. Não há limites de integração, então devemos encontrar uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Vamos lembrar a definição da função hiperbólica cosseno. Por definição,
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}.
Aqui e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828), e e^{x} e e^{-x} são exponenciais. Essa definição é útil porque integrais de exponenciais são diretas.

Passo 3

Substituímos a definição de \operatorname{cosh} x na integral e integramos termo a termo:
\int \operatorname{cosh} x \, dx = \int \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \, dx = \frac{1}{2}\!\left(\int e^{x}\,dx + \int e^{-x}\,dx\right).
Agora usamos as primitivas conhecidas:
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_1,\qquad \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C_2.
Substituindo:
\frac{1}{2}\!\left(e^{x} + (-e^{-x})\right) + C = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} + C,
onde combinei as constantes C_1,C_2 em uma única constante C.

Passo 4

A expressão obtida \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} é exatamente a definição da função hiperbólica seno:
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Além disso, podemos confirmar que é a primitiva correta checando a derivada: derivando \operatorname{sinh} x obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = \operatorname{cosh} x,
ou seja, a derivada de \operatorname{sinh} x é \operatorname{cosh} x, logo \operatorname{sinh} x é uma primitiva de \operatorname{cosh} x.

Passo 5

Conclusão e observação prática para prova: sempre que aparecer \int \operatorname{cosh} x\,dx, você pode lembrar rapidamente que a primitiva é \operatorname{sinh} x mais a constante. Se quiser justificar no papel, escreva a definição com exponenciais ou simplesmente cite que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x.

Resposta

\operatorname{sinh} x + C

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