Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede: calcular a integral indefinida da função
.
Informações dadas: a integranda é . Não há limites de integração, então devemos encontrar uma primitiva geral (com constante de integração).
Informações dadas: a integranda é
Passo 2
Vamos lembrar a definição da função hiperbólica cosseno. Por definição,
Aqui
é a base dos logaritmos naturais (aprox.
), e
e
são exponenciais. Essa definição é útil porque integrais de exponenciais são diretas.
Passo 3
Substituímos a definição de
na integral e integramos termo a termo:
Agora usamos as primitivas conhecidas:
Substituindo:
onde combinei as constantes
em uma única constante
.
Passo 4
A expressão obtida
é exatamente a definição da função hiperbólica seno:
Além disso, podemos confirmar que é a primitiva correta checando a derivada: derivando
obtemos
ou seja, a derivada de
é
, logo
é uma primitiva de
.
Passo 5
Conclusão e observação prática para prova: sempre que aparecer
, você pode lembrar rapidamente que a primitiva é
mais a constante. Se quiser justificar no papel, escreva a definição com exponenciais ou simplesmente cite que
.