Determine a integral de cada função abaixo
int \operatorname{sinh} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida da função \operatorname{sinh} x em relação a x.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sinh} x. Não há mais restrições fornecidas (podemos assumir x\in\mathbb{R}). O que queremos é encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sinh} x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (e aprender) a definição que facilita muito a integração: a função hiperbólica seno é definida por
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2},
onde e^{x} é a exponencial e x é a variável real. Também é útil conhecer a função hiperbólica cosseno:
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Essas definições nos permitem transformar integrais de funções hiperbólicas em integrais de exponenciais, que são simples de calcular.

Passo 3

Substituímos \operatorname{sinh} x pela sua definição exponential na integral:
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \int \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,dx.
Podemos tirar o fator constante 1/2 para fora da integral:
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \frac{1}{2}\int \bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo. Sabemos que \int e^{x}\,dx = e^{x} e \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} (pois a derivada de -e^{-x} é e^{-x}\cdot(-1)\cdot(-1)=e^{-x}, veja que o sinal aparece por causa da cadeia). Assim,
\frac{1}{2}\int \bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(e^{x} - (-e^{-x})\bigr) + C.
Simplificando o sinal dentro do parêntese:
\frac{1}{2}\bigl(e^{x} + e^{-x}\bigr) + C.

Passo 5

Reconhecemos a expressão obtida: ela é exatamente a definição de \operatorname{cosh} x. Ou seja,
\frac{1}{2}\bigl(e^{x} + e^{-x}\bigr)=\operatorname{cosh} x.
Portanto uma primitiva de \operatorname{sinh} x é \operatorname{cosh} x.

Passo 6

Para garantir que está correto, fazemos uma verificação rápida: derivando \operatorname{cosh} x obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} = \operatorname{sinh} x,
logo \operatorname{cosh} x é de fato uma primitiva de \operatorname{sinh} x. Lembre-se de acrescentar a constante de integração C.

Resposta

\operatorname{cosh} x + C

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