Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida da função
em relação a
.
Informações dadas: a função a integrar é . Não há mais restrições fornecidas (podemos assumir
). O que queremos é encontrar uma primitiva
tal que
.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (e aprender) a definição que facilita muito a integração: a função hiperbólica seno é definida por
onde
é a exponencial e
é a variável real. Também é útil conhecer a função hiperbólica cosseno:
Essas definições nos permitem transformar integrais de funções hiperbólicas em integrais de exponenciais, que são simples de calcular.
Passo 3
Substituímos
pela sua definição exponential na integral:
Podemos tirar o fator constante
para fora da integral:
Passo 4
Integramos termo a termo. Sabemos que
e
(pois a derivada de
é
, veja que o sinal aparece por causa da cadeia). Assim,
Simplificando o sinal dentro do parêntese:
Passo 5
Reconhecemos a expressão obtida: ela é exatamente a definição de
. Ou seja,
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 6
Para garantir que está correto, fazemos uma verificação rápida: derivando
obtemos
logo
é de fato uma primitiva de
. Lembre-se de acrescentar a constante de integração
.