Determine a integral de cada função abaixo
int \tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função \tan x.
Informação dada: a função integranda é \tan x.
Pergunta: encontrar uma primitiva (antiderivada) de \tan x, ou seja, determinar
\int \tan x \, dx.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil que facilita a integração: escrevemos \tan x como razão entre seno e cosseno. Escrevo isso explicitamente:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Essa forma é boa porque aparece \sin x no numerador e \cos x no denominador; quando o numerador for a derivada (ou múltiplo da derivada) do denominador, vale a pena usar a substituição u= denominador. Aqui a derivada de \cos x é -\sin x, então a substituição clássica é
u = \cos x.

Passo 3

Faço a troca na integral passo a passo. Primeiro reescrevo a integral usando a identidade:
\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx.
Agora aplico a substituição u=\cos x. Calculo du:
du = \frac{d}{dx}(\cos x)\, dx = -\sin x \, dx.
Isolo \sin x\, dx:
\sin x\, dx = -du.

Passo 4

Substituo \sin x\, dx por -du e \cos x por u na integral:
\int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot (\sin x\, dx) = \int \frac{1}{u} \cdot (-du) = -\int \frac{1}{u} \, du.

Passo 5

Agora uso a primitiva conhecida da função 1/u. Lembre que a derivada de \ln|u| é 1/u (mais precisamente, \dfrac{d}{du}\ln|u| = \dfrac{1}{u}). Portanto
-\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto à variável original substituindo u=\cos x:
-\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C.
Observação: é comum também escrever a primitiva usando a função secante, já que \operatorname{sec} x = 1/\cos x. Como -\ln|\cos x| = \ln\left|\frac{1}{\cos x}\right| = \ln|\operatorname{sec} x|, as duas formas são equivalentes:
-\ln|\cos x| + C = \ln|\operatorname{sec} x| + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivada da primitiva): calculo a derivada de -\ln|\cos x|. Uso a regra da cadeia e que \dfrac{d}{dx}\ln|v|=\dfrac{v'}{v}:
\frac{d}{dx}\big(-\ln|\cos x|\big) = -\frac{(\cos x)'}{\cos x} = -\frac{-\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.
Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\ln|\cos x| + C

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