Determine a integral de cada função abaixo int \tan x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função \tan x.
Informação dada: a função integranda é \tan x.
Pergunta: encontrar uma primitiva (antiderivada) de \tan x, ou seja, determinar
\int \tan x \, dx.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil que facilita a integração: escrevemos \tan x como razão entre seno e cosseno. Escrevo isso explicitamente:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Essa forma é boa porque aparece \sin x no numerador e \cos x no denominador; quando o numerador for a derivada (ou múltiplo da derivada) do denominador, vale a pena usar a substituição u= denominador. Aqui a derivada de \cos x é -\sin x, então a substituição clássica é
u = \cos x.
Passo 3
Faço a troca na integral passo a passo. Primeiro reescrevo a integral usando a identidade:
Agora uso a primitiva conhecida da função 1/u. Lembre que a derivada de \ln|u| é 1/u (mais precisamente, \dfrac{d}{du}\ln|u| = \dfrac{1}{u}). Portanto
-\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 6
Volto à variável original substituindo u=\cos x:
-\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C.
Observação: é comum também escrever a primitiva usando a função secante, já que \operatorname{sec} x = 1/\cos x. Como -\ln|\cos x| = \ln\left|\frac{1}{\cos x}\right| = \ln|\operatorname{sec} x|, as duas formas são equivalentes:
-\ln|\cos x| + C = \ln|\operatorname{sec} x| + C.
Passo 7
Verificação rápida (derivada da primitiva): calculo a derivada de -\ln|\cos x|. Uso a regra da cadeia e que \dfrac{d}{dx}\ln|v|=\dfrac{v'}{v}: