Determine a integral de cada função abaixo int \csc x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função \csc x, ou seja:
\text{Calcular } \int \csc x \, dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é \csc x. Não há limites (é uma integral indefinida), portanto a resposta deve vir com uma constante de integração C. Não há figura nem outra informação adicional.
Passo 2
Vamos lembrar algumas derivadas úteis que usaremos (explico por que são verdadeiras):
A função \csc x é \csc x = \dfrac{1}{\sin x}. Derivando com regra do quociente ou usando a regra da cadeia:
Reescrevendo -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\big(\dfrac{\cos x}{\sin x}\big)\big(\dfrac{1}{\sin x}\big)=-\cot x\csc x. Logo
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big) = -\csc x\cot x.
De forma semelhante, como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big) = -\csc^2 x.
Vou usar essas duas derivadas na técnica seguinte.
Passo 3
Técnica clássica para \int \csc x\,dx: multiplicar e dividir por \csc x+\cot x para obter, no numerador, algo que seja (menos) a derivada do denominador. Escrevo:
ou seja, \ln\big|\csc x-\cot x\big|+C é a mesma primitiva (constante absorvida).
2) Usando fórmula do ângulo metade, \tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big)=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\csc x-\cot x. Logo outra forma equivalente é
\ln\left|\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right| + C.
Todas essas são a mesma primitiva até uma constante.
Resposta
\ln\left|\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + C