Determine a integral de cada função abaixo
int \csc x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função \csc x, ou seja:
\text{Calcular } \int \csc x \, dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é \csc x. Não há limites (é uma integral indefinida), portanto a resposta deve vir com uma constante de integração C. Não há figura nem outra informação adicional.

Passo 2

Vamos lembrar algumas derivadas úteis que usaremos (explico por que são verdadeiras):
A função \csc x é \csc x = \dfrac{1}{\sin x}. Derivando com regra do quociente ou usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big)=\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)^{-1}=-1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Reescrevendo -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\big(\dfrac{\cos x}{\sin x}\big)\big(\dfrac{1}{\sin x}\big)=-\cot x\csc x. Logo
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big) = -\csc x\cot x.
De forma semelhante, como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big) = -\csc^2 x.
Vou usar essas duas derivadas na técnica seguinte.

Passo 3

Técnica clássica para \int \csc x\,dx: multiplicar e dividir por \csc x+\cot x para obter, no numerador, algo que seja (menos) a derivada do denominador. Escrevo:
\int \csc x\,dx = \int \csc x\cdot\frac{\csc x+\cot x}{\csc x+\cot x}\,dx = \int \frac{\csc^2 x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\,dx.
Isso é permitido porque estamos multiplicando por 1. A intenção é identificar no numerador a derivada de \csc x+\cot x (ou seu negativo).

Passo 4

Calculo a derivada de u=\csc x+\cot x (já tínhamos as derivadas acima):
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\csc x)+\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc x\cot x - \csc^2 x = -\big(\csc^2 x+\csc x\cot x\big).
Reescrevendo, temos
\csc^2 x+\csc x\cot x = -\frac{du}{dx}.
Então o integrando do Passo 3 fica
\frac{\csc^2 x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\,dx = -\frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Agora a integral é direta em u:
\int -\frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C.
Voltando à variável x com u=\csc x+\cot x, obtemos
\int \csc x\,dx = -\ln\big|\csc x+\cot x\big| + C.

Passo 6

Existem formas equivalentes dessa primitiva que às vezes aparecem nas provas; explico as relações rapidamente:
  1. Como (\csc x-\cot x)(\csc x+\cot x)=\csc^2 x-\cot^2 x=1, temos \csc x-\cot x=\dfrac{1}{\csc x+\cot x}. Então
-\ln\big|\csc x+\cot x\big| = \ln\big|\csc x-\cot x\big| + C,
ou seja, \ln\big|\csc x-\cot x\big|+C é a mesma primitiva (constante absorvida).
2) Usando fórmula do ângulo metade, \tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big)=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\csc x-\cot x. Logo outra forma equivalente é
\ln\left|\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right| + C.
Todas essas são a mesma primitiva até uma constante.

Resposta

\ln\left|\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + C

Exercícios relacionados