Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é . Não é preciso avaliar limites nem condições, apenas encontrar uma primitiva (ou antiderivada) e lembrar de adicionar a constante de integração
.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
de uma forma que facilite a integração. Por definição,
,
válido para tais que
. Essa escrita é útil porque aparece uma razão onde o numerador é a derivada do denominador (ou muito próximo disso).
válido para
Passo 3
Fazemos a substituição simples e clássica: seja
.
Agora calculamos o diferencial . Como
, temos
Agora calculamos o diferencial
Portanto o elemento
da integral pode ser substituído por
. Substituindo em
obtemos a integral em
:
Passo 4
Agora integramos
. A primitiva conhecida de
é o logaritmo natural (com valor absoluto):
onde
é a constante de integração. Explico por que o valor absoluto: o logaritmo natural
só está definido para
, mas
pode ser negativo; a primitiva correta e contínua por partes é
.
Passo 5
Voltando à variável original
, substituímos
na primitiva:
Podemos checar rapidamente derivando:
, portanto está correto.