Determine a integral de cada função abaixo
int \cot x d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \cot x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é \cot x. Não é preciso avaliar limites nem condições, apenas encontrar uma primitiva (ou antiderivada) e lembrar de adicionar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever \cot x de uma forma que facilite a integração. Por definição,
\displaystyle \cot x = \frac{\cos x}{\sin x},
válido para x tais que \sin x \neq 0. Essa escrita é útil porque aparece uma razão onde o numerador é a derivada do denominador (ou muito próximo disso).

Passo 3

Fazemos a substituição simples e clássica: seja
\displaystyle u=\sin x.
Agora calculamos o diferencial du. Como u=\sin x, temos
du=\cos x\,dx.
Portanto o elemento \cos x\,dx da integral pode ser substituído por du. Substituindo em \displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx obtemos a integral em u:
\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du. A primitiva conhecida de 1/u é o logaritmo natural (com valor absoluto):
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. Explico por que o valor absoluto: o logaritmo natural \ln t só está definido para t>0, mas u=\sin x pode ser negativo; a primitiva correta e contínua por partes é \ln|u|.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u=\sin x na primitiva:
\ln|u| + C = \ln|\sin x| + C.
Podemos checar rapidamente derivando: \dfrac{d}{dx}\ln|\sin x| = \dfrac{1}{\sin x}\cdot \cos x = \cot x, portanto está correto.

Resposta

\ln|\sin x| + C

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