Para que valores de b a função f é contínua em 0 ?
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O enunciado nos dá uma função à parte definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de x . A parada é descobrir para quais valores de b essa função é contínua em x = 0 .
Matéria envolvida: Continuidade de funções.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites laterais da função quando x se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Dizemos que uma função f(x) é contínua em x = a se:
f(a) está definido.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
Esse limite é igual a f(a) .
No nosso caso, queremos que f(x) seja contínua em 0 . Então, precisamos garantir que os três critérios acima sejam atendidos em x = 0 .
Passo 3
Vamos verificar cada critério:
está definido?
Pelo enunciado, . Então, sim, está definido.
O limite de quando se aproxima de 0 existe?
Para isso, precisamos calcular os limites laterais:
Limite pela esquerda ():
Quando , . Então:
Limite pela direita ():
Quando , . Vamos calcular esse limite:
Sabemos que \(\sin(x) \approx x\) quando \(x\) é próximo de 0, então:
Portanto:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais (ambos são 0), o limite geral existe e é igual a 0.
O limite é igual a ?
Já sabemos que o limite é 0 e que . Para que a continuidade seja garantida:
Resposta
Para que a função f seja contínua em 0, o valor de b deve ser igual a 0.