Considere a função abaixo e responda:
f(x)=cl x^2-x & , se x<0 b & , se x=0 sen^2(x)x & , se x>0
Para que valores de b a função f é contínua em 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O enunciado nos dá uma função à parte definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de x . A parada é descobrir para quais valores de b essa função é contínua em x = 0 .
Matéria envolvida: Continuidade de funções.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites laterais da função quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Dizemos que uma função f(x) é contínua em x = a se:
  1. f(a) está definido.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. Esse limite é igual a f(a) .
No nosso caso, queremos que f(x) seja contínua em 0 . Então, precisamos garantir que os três critérios acima sejam atendidos em x = 0 .

Passo 3

Vamos verificar cada critério:
  1. está definido?
    Pelo enunciado, . Então, sim, está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de 0 existe?
    Para isso, precisamos calcular os limites laterais:
    • Limite pela esquerda ( ):
      Quando , . Então:
  • Limite pela direita ( ):
    Quando , . Vamos calcular esse limite:
 Sabemos que \(\sin(x) \approx x\) quando \(x\) é próximo de 0, então:
 Portanto:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais (ambos são 0), o limite geral existe e é igual a 0.
  1. O limite é igual a ?
    Já sabemos que o limite é 0 e que . Para que a continuidade seja garantida:

Resposta

Para que a função f seja contínua em 0, o valor de b deve ser igual a 0.

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