Prove que se
e
são inteiros positivos, então a fórmula abaixo é verdadeira.
Sugestão:
sen A sen B=12[cos (A-B)-cos (A+B)]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade das funções
sin(mx) e
sin(nx) no intervalo
[-pi,pi] . O conteúdo é o uso da identidade trigonométrica
e o cálculo de integrais de cosseno em intervalos simétricos.
Passo 2
Aplicando a identidade a
sin(mx)sin(nx) , obtemos
Passo 3
Integramos ambos os lados de
-pi a
pi :
Passo 4
Se
mneq n , então
m-n e
m+n são inteiros não nulos. Para
kinZsetminus0 vale
Logo, quando
mneq n , cada integral de cosseno vale zero, e
Passo 5
Se
m=n , então
m-n=0 e
cos(0cdot x)=1 . Assim