Prove que se m e n são inteiros positivos, então a fórmula abaixo é verdadeira.
integral-pi^pi sen(m x) cdot sen(n x) d x=l 0 se m neq n 1 se m=n
Sugestão: sen A sen B=12[cos (A-B)-cos (A+B)]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade das funções sin(mx) e sin(nx) no intervalo [-pi,pi]. O conteúdo é o uso da identidade trigonométrica
sin A,sin B=12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
e o cálculo de integrais de cosseno em intervalos simétricos.

Passo 2

Aplicando a identidade a sin(mx)sin(nx), obtemos
sin(mx)sin(nx) =12l[cosl((m-n)xr)-cosl((m+n)xr)r]

Passo 3

Integramos ambos os lados de -pi a pi:
integral-pi^pisin(mx)sin(nx),dx =12integral-pi^picosl((m-n)xr),dx -12integral-pi^picosl((m+n)xr),dx

Passo 4

Se mneq n, então m-n e m+n são inteiros não nulos. Para kinZsetminus0 vale
integral-pi^picos(kx),dx =[sin(kx)k]-pi^pi =sin(kpi)-sin(-kpi)k =0
Logo, quando mneq n, cada integral de cosseno vale zero, e
integral-pi^pisin(mx)sin(nx),dx=0

Passo 5

Se m=n, então m-n=0 e cos(0cdot x)=1. Assim
integral-pi^pisin^2(mx),dx =12integral-pi^pil[1-cos(2mx)r],dx =12l[underbraceintegral-pi^pi1,dx2pi -underbraceintegral-pi^picos(2mx),dx0r] =12cdot2pi =pi

Resposta

integral-pi^pisin(mx)sin(nx),dx = 0,&mneq n, pi,&m=n

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