Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu valor. O conteúdo aqui é integral imprópria com limite superior infinito e função de potência.

Passo 2

Transformamos a integral em um limite finito:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de \frac{1}{(x-1)^{2}}. Note que
\frac{1}{(x-1)^{2}} = (x-1)^{-2},
e pela regra de potência
\int (x-1)^{-2}\,dx = -\,(x-1)^{-1} + C = -\frac{1}{x-1} + C.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental ao intervalo [2,b]:
\int_{2}^{b} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{2}^{b} = -\frac{1}{b-1} - \Bigl(-\frac{1}{2-1}\Bigr) = -\frac{1}{b-1} + 1.
Agora tomamos o limite b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{b-1} + 1\Bigr) = 0 + 1 = 1.

Passo 5

Como o valor do limite é finito, a integral converge e seu valor é 1.

Resposta

A integral converge e vale 1.

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