Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{-\infty}^{2} \frac{d x}{(4-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{2}\frac{dx}{(4 - x)^{2}}
e, se ela convergir, calcular o valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com limite infinito, junto com o cálculo de antiderivada por substituição simples.

Passo 2

Identificamos que a integral é imprópria pelo limite inferior ser -\infty. Não há singularidade no intervalo finito (-\infty,2], pois 4-x\neq0 para x\le2. Para testar convergência, observamos o comportamento quando x\to-\infty:
\frac{1}{(4 - x)^{2}}\sim \frac{1}{x^{2}},
e sabemos que a integral de 1/x^{2} em (-\infty,\text{valor finito}] converge (é um caso p-integral com p=2>1).

Passo 3

Vamos achar a antiderivada de \frac{1}{(4 - x)^{2}}. Use a substituição
u = 4 - x,\quad du = -\,dx,
então
\int \frac{dx}{(4 - x)^{2}} = \int \frac{-\,du}{u^{2}} = \int -u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{4 - x} + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral de -\infty até 2 usando a antiderivada:
\int_{-\infty}^{2}\frac{dx}{(4 - x)^{2}} = \lim_{A\to-\infty}\biggl[\frac{1}{4 - x}\biggr]_{x=A}^{x=2} = \lim_{A\to-\infty}\Bigl(\frac{1}{4 - 2} - \frac{1}{4 - A}\Bigr) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.

Resposta

A integral converge e seu valor é \tfrac12.

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