Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
e, se ela convergir, calcular o valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com limite infinito, junto com o cálculo de antiderivada por substituição simples.
Passo 2
Identificamos que a integral é imprópria pelo limite inferior ser
. Não há singularidade no intervalo finito
, pois
para
. Para testar convergência, observamos o comportamento quando
:
e sabemos que a integral de
em
converge (é um caso
-integral com
).
Passo 3
Vamos achar a antiderivada de
. Use a substituição
então
Passo 4
Agora avaliamos a integral de
até
usando a antiderivada:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.