Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x+2} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x+2}\,d x
que é imprópria por dois motivos:
  1. o limite inferior vai a -\infty,
  2. o integrando tem descontinuidade em x=-2, que está no intervalo de integração.
    Para estudar convergência, vamos dividir em duas integrais impróprias separadas em x=-2.

Passo 2

Dividimos
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{x+2}\,d x =\int_{-\infty}^{-2}\frac{1}{x+2}\,d x +\int_{-2}^{0}\frac{1}{x+2}\,d x.
Para a primeira parte, definimos
I_{1}=\lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{-2}\frac{1}{x+2}\,d x =\lim_{A\to-\infty}\Bigl[\ln\lvert x+2\rvert\Bigr]_{x=A}^{x=-2}.
Como \ln\lvert(-2)+2\rvert=\ln0\to -\infty, temos I_{1}=-\infty, ou seja, diverge.
Para a segunda parte, definimos
I_{2}=\lim_{B\to-2^{+}}\int_{B}^{0}\frac{1}{x+2}\,d x =\lim_{B\to-2^{+}}\Bigl[\ln\lvert x+2\rvert\Bigr]_{x=B}^{x=0} =\ln2-\ln\lvert B+2\rvert\to +\infty,
pois \ln\lvert B+2\rvert\to-\infty. Logo I_{2}=+\infty.
Como cada parte diverge, a integral original não converge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados