(c)
23. (Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob ação da força resultante
, onde
é suposta definida e contínua no intervalo
. Seja
uma primitiva de
. Esta primitiva
é denominada função energia potencial para
. Mostre que se a posição da partícula for dada por
, então existirá uma constante
, tal que para todo
em
, tem-se
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética
com a energia potencial
permanece constante durante o movimento.
23. (Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa
Passo 1
O enunciado considera uma partícula de massa
que se move ao longo do eixo
sob a ação de uma força
. A equação de movimento, segundo a segunda lei de Newton, é
Definimos a energia potencial
como uma primitiva de
, ou seja,
O objetivo é mostrar que existe uma constante
tal que, para toda
,
onde
.
Passo 2
Multiplicamos a equação de movimento por
. Assim, temos
O lado esquerdo pode ser reescrito como derivada de energia cinética, pois
Passo 3
No lado direito usamos a definição de
. Como
, segue que
Portanto a equação fica
Passo 4
Somando os dois termos no mesmo lado, obtemos
Integramos em
e concluímos que existe uma constante
tal que
para todo
.
Resposta
Ficou demonstrado que
isto é, a soma da energia cinética com a energia potencial é constante durante o movimento.