(c) \frac{d^{2} x}{d x^{2}}-5\left(\frac{d x}{d t}\right)+3 x=0
23. (Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo x sob ação da força resultante f(x) \vec{i}, onde f é suposta definida e contínua no intervalo J. Seja U(x) uma primitiva de -f(x). Esta primitiva U(x) é denominada função energia potencial para f. Mostre que se a posição da partícula for dada por x=x(t), t \in I, então existirá uma constante C, tal que para todo t em I, tem-se
\frac{1}{2} m v^{2}+U(x)=c
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética \frac{1}{2} m v^{2} com a energia potencial U(x) permanece constante durante o movimento.

Passo 1

O enunciado considera uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força f(x)\,\vec\imath. A equação de movimento, segundo a segunda lei de Newton, é
m\,\frac{d^2 x}{dt^2} \;=\; f(x).
Definimos a energia potencial U(x) como uma primitiva de -f(x), ou seja,
U'(x) = -\,f(x).
O objetivo é mostrar que existe uma constante C tal que, para toda t,
\frac12\,m\,v^2 + U(x) = C,
onde v = \tfrac{dx}{dt}.

Passo 2

Multiplicamos a equação de movimento por v = \tfrac{dx}{dt}. Assim, temos
m\,\frac{d^2 x}{dt^2}\,\frac{dx}{dt} \;=\; f(x)\,\frac{dx}{dt}.
O lado esquerdo pode ser reescrito como derivada de energia cinética, pois
m\,\frac{d^2 x}{dt^2}\,\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac12\,m\,\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2\Bigr).

Passo 3

No lado direito usamos a definição de U(x). Como U'(x)=-\,f(x), segue que
f(x)\,\frac{dx}{dt} = -\,U'(x)\,\frac{dx}{dt} = -\,\frac{d}{dt}\bigl(U(x)\bigr).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac12\,m\,v^2\Bigr) \;=\; -\,\frac{d}{dt}\!\bigl(U(x)\bigr).

Passo 4

Somando os dois termos no mesmo lado, obtemos
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac12\,m\,v^2 + U(x)\Bigr) = 0.
Integramos em t e concluímos que existe uma constante C tal que
\tfrac12\,m\,v^2 + U(x) = C
para todo t.

Resposta

Ficou demonstrado que
\frac12\,m\,v^2 + U(x) = C,
isto é, a soma da energia cinética com a energia potencial é constante durante o movimento.

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