Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{4}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
e, caso ela convirja, calcular o seu valor. Vamos usar o teste da forma de p-integral e calcular a primitiva para avaliar o limite.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral com limite superior finito:
\int_{4}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{4}^{b}x^{-1/2}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de x^{-1/2}. Sabemos que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac12, logo
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C = \frac{x^{1/2}}{\tfrac12}+C = 2\,x^{1/2}+C.

Passo 4

Substituindo nos limites e tomando o limite em b:
\lim_{b\to\infty}\bigl[2\sqrt{x}\bigr]_{4}^{b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(2\sqrt{b}-2\sqrt{4}\bigr) = \lim_{b\to\infty}(2\sqrt{b}-4).
Como \sqrt{b}\to\infty quando b\to\infty, o valor vai para \infty.

Resposta

A integral diverge; ela não converge a um valor finito.

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