Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
ou seja, estudar seu comportamento quando o limite superior vai a infinito e ver se ela converge (a um número finito) ou diverge. Para isso, vamos usar a definição de integral imprópria em intervalo infinito.
Passo 2
Reescrevemos a integral como limite de uma integral propriamente dita em um intervalo finito:
Passo 3
Calculamos a primitiva de
. Sabemos que
portanto
Passo 4
Avaliamo-la de
até
:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Como esse limite é infinito, a integral não converge a um número finito.
Resposta
A integral diverge.