Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x-1}\,dx
ou seja, estudar seu comportamento quando o limite superior vai a infinito e ver se ela converge (a um número finito) ou diverge. Para isso, vamos usar a definição de integral imprópria em intervalo infinito.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral propriamente dita em um intervalo finito:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x-1}\,dx =\lim_{t\to\infty}\int_{2}^{t}\frac{1}{x-1}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de \frac{1}{x-1}. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x-1|\bigr)=\frac{1}{x-1},
portanto
\int\frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|+C.

Passo 4

Avaliamo-la de x=2 até x=t:
\int_{2}^{t}\frac{1}{x-1}\,dx =\Bigl[\ln|x-1|\Bigr]_{2}^{t} =\ln|t-1|-\ln|2-1| =\ln(t-1)-\ln(1) =\ln(t-1).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}\ln(t-1)=+\infty.
Como esse limite é infinito, a integral não converge a um número finito.

Resposta

A integral diverge.

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