Quais das seguintes integrais é imprópria? Por quê?
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar por que a integral
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx
é imprópria. O conteúdo aqui é classificação de integrais impróprias: precisamos verificar se o integrando apresenta descontinuidade no intervalo de integração ou se os limites são não limitados.

Passo 2

Analisando o integrando
f(x)=\frac{\sin x}{1+x^{2}},
vemos que o denominador 1+x^{2} nunca se anula para x\in\mathbb{R}. Logo, f(x) é contínua em todo \mathbb{R} e não há singularidades internas.

Passo 3

Os limites de integração vão de -\infty a \infty. Isto significa que o intervalo de integração é não limitado, caracterizando uma integral imprópria do primeiro tipo (ou de intervalo infinito).

Resposta

A integral
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx
é imprópria porque os limites de integração são infinitos.

Exercícios relacionados