Quais das seguintes integrais é imprópria? Por quê?
Passo 1
O enunciado nos apresenta a integral
e pede para verificarmos se ela é imprópria. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias, ou seja, integrais em que o integrando fica descontinuo ou não está definido em algum ponto do intervalo de integração.
Passo 2
Observamos o domínio da função
. Para que o logaritmo seja definido, é necessário
, isto é,
. Logo, em
temos
ou seja, o integrando fica não definido e tende a
no limite inferior do intervalo.
Passo 3
Por causa dessa descontinuidade infinita em
, reescrevemos a integral como um limite que se aproxima de
pela direita:
Isso caracteriza a integral como imprópria de primeira espécie.
Resposta
A integral
é imprópria porque o integrando
não está definido em
e tende a
nesse ponto, exigindo a interpretação como limite.