Quais das seguintes integrais é imprópria? Por quê?
\int_{1}^{2} \ln (x-1) d x

Passo 1

O enunciado nos apresenta a integral
\int_{1}^{2}\ln(x-1)\,dx
e pede para verificarmos se ela é imprópria. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias, ou seja, integrais em que o integrando fica descontinuo ou não está definido em algum ponto do intervalo de integração.

Passo 2

Observamos o domínio da função f(x)=\ln(x-1). Para que o logaritmo seja definido, é necessário x-1>0, isto é, x>1. Logo, em x=1 temos
\lim_{x\to1^+}\ln(x-1) = \ln0 = -\infty,
ou seja, o integrando fica não definido e tende a -\infty no limite inferior do intervalo.

Passo 3

Por causa dessa descontinuidade infinita em x=1, reescrevemos a integral como um limite que se aproxima de 1 pela direita:
\int_{1}^{2}\ln(x-1)\,dx = \lim_{a\to1^+}\int_{a}^{2}\ln(x-1)\,dx.
Isso caracteriza a integral como imprópria de primeira espécie.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{1}^{2}\ln(x-1)\,dx é imprópria porque o integrando \ln(x-1) não está definido em x=1 e tende a -\infty nesse ponto, exigindo a interpretação como limite.

Exercícios relacionados