Determine se a integral é convergente ou divergente e calcule aquelas convergentes.
integral-infty^-1 e^-3 t d t

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
integral-infty^-1 e^-3t,dt
ou seja, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. Aqui usamos o conceito de integral imprópria com limite de integração indo a -infty.

Passo 2

Calculamos uma primitiva de e^-3t. Sabemos que
ddtl(-tfrac13e^-3tr)=e^-3t,
logo uma primitiva é
integral e^-3t,dt = -tfrac13e^-3t

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria como limite:
integral-infty^-1 e^-3t,dt = limAto-infty integralA^-1 e^-3t,dt = limAto-inftyl[-tfrac13e^-3tr]t=A^t=-1
Substituindo,
l[-tfrac13e^-3tr]t=A^t=-1 = -tfrac13l(e^3 - e^-3Ar)
À medida que Ato-infty, temos -3Ato+infty e portanto e^-3Ato+infty. Isso faz o termo
-tfrac13(e^3-e^-3A) crescer sem limite.

Resposta

A integral diverge (é divergente).

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