3 (2 pontos) Seja a curva plana contida no plano , cujo traço coincide com o gráfico da função . A curva é chamada de catenária e superfície obtida a partir da rotação da curva em torno do eixo é chamada de catenoide. Sob essas condições, determine:
(a) A área do catenoide.
(b) Determine o fluxo do campo vetorial através do catenoide.
(c) Calcule onde o campo vetorial é dado por e é a superfície formada pela porção do catenoide que está entre os planos e e o disco .
(d) Calcule , onde é o campo vetorial dado no item (c) e a superfície fechada formada pelo catenoide e pelos discos e .
Obs: Lembre que .
Passo 1
Neste exercício temos a catenária no plano dada por , , e o catenoide obtido pela rotação dessa curva em torno do eixo . Precisamos determinar:
(a) a área de ;
(b) o fluxo do campo através de ;
(c) , onde e é a porção de catenoide entre e mais o disco ;
(d) para a superfície fechada formada pelo catenoide em mais os discos em .
Vamos usar parametrização de superfície, Teorema de Stokes e Teorema da Divergência.
Fluxo de F(x,y,z)=(z,x,y) através de S.
Usamos a mesma parametrização e escolhemos a normal com componente radial positiva, de modo que
d S =l(cosh(z)costheta,;cosh(z)sintheta,;-,sinh(z)cosh(z)r),dtheta,dz
Então
Phi =integral duplaSFcdot d S =integral-1^1!integral0^2pi l[zcosh(z)costheta +cosh^2(z)costhetasintheta -sinh(z)cosh^2(z)sinthetar] ,dtheta,dz
Cada termo angular integra zero sobre [0,2pi]. Portanto
Phi=0
Passo 4
Cálculo de integral duplawidetilde Srotwidetilde Fcdot dwidetilde S por Stokes.
A superfície widetilde S é a porção de catenoide de z=0 a z=1 mais o disco D1, e sua única fronteira não fechada fica em z=0, no círculo C!: x^2+y^2=1. Pelo Teorema de Stokes
integral duplawidetilde Srotwidetilde Fcdot dwidetilde S =ointCwidetilde Fcdot d r
No círculo C: z=0,;x=costheta,;y=sintheta. Logo
widetilde F=(xz,yx,zy)=(0,costhetasintheta,0), d r=(-sintheta,costheta,0),dtheta,
widetilde Fcdot d r =cos^2theta,sintheta,dtheta,
e
integral0^2picos^2thetasintheta,dtheta=0
Portanto
integral duplawidetilde Srotwidetilde Fcdot dwidetilde S=0
Passo 5
Cálculo de integral dupla Zwidetilde Fcdot d Z via Teorema da Divergência.
Para widetilde F=(xz,yx,zy) temos
nablacdotwidetilde F =partialpartial x(xz) +partialpartial y(yx) +partialpartial z(zy) =z+x+y
A região interna V é dada em coordenadas cilíndricas por
0<= r<=cosh(z), zin[-1,1], thetain[0,2pi]
Então
integral dupla Zwidetilde Fcdot d Z =integral triplaV(z+x+y),dV
Por simetria, cada termo z, x ou y integra zero. Logo