3 (2 pontos) Seja alpha a curva plana contida no plano x z, cujo traço coincide com o gráfico da função x=cosh (z), com z in[-1,1]. A curva alpha é chamada de catenária e superfície S obtida a partir da rotação da curva alpha em torno do eixo z é chamada de catenoide. Sob essas condições, determine:
(a) A área do catenoide.
(b) Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=z i+x j+y k através do catenoide.
(c) Calcule integral duplawidetildeS rot widetildeF cdot d widetildeS onde o campo vetorial widetildeF é dado por widetildeF(x, y, z)=x z i+y x j+z y k e widetildeS é a superfície formada pela porção do catenoide que está entre os planos z=0 e z=1 e o disco D1=(x, y, 1): x^2+y^2 <= cosh (1).
(d) Calcule integral duplaZ widetildeF cdot d Z, onde widetildeF é o campo vetorial dado no item (c) e Z a superfície fechada formada pelo catenoide S e pelos discos D-1=(x, y,-1): x^2+y^2 <= cosh (-1) e D1=(x, y, 1): x^2+y^2 <= cosh (1).
Obs: Lembre que cosh z=e^z+e^-z2.

Passo 1

Neste exercício temos a catenária no plano xz dada por x=cosh(z), zin[-1,1], e o catenoide S obtido pela rotação dessa curva em torno do eixo z. Precisamos determinar:
(a) a área de S;
(b) o fluxo do campo F(x,y,z)=(z,x,y) através de S;
(c) integral duplawidetilde Srotwidetilde Fcdot dwidetilde S, onde widetilde F=(xz,yx,zy) e widetilde S é a porção de catenoide entre z=0 e z=1 mais o disco D1;
(d) integral dupla Zwidetilde Fcdot d Z para a superfície fechada Z formada pelo catenoide em -1<= z<=1 mais os discos em z=pm1.
Vamos usar parametrização de superfície, Teorema de Stokes e Teorema da Divergência.

Passo 2

Cálculo da área de S.
Parametrização
r(z,theta)=l(cosh(z)costheta,;cosh(z)sintheta,;zr),
com ;zin[-1,1],;thetain[0,2pi].
A área é
A=integral-1^1integral0^2pil|rztimes rthetar|,dtheta,dz
Calcula-se
|rztimes rtheta| =cosh(z)raiz1+(sinh z)^2 =cosh(z),cosh(z) =cosh^2(z)
Logo
A&=2piintegral-1^1cosh^2(z),dz =2piintegral-1^11+cosh(2z)2,dz &=pil[2z+sinh(2z)r]-1^1 =pil(4+2sinh(2)r) =4pi+2pisinh(2)

Passo 3

Fluxo de F(x,y,z)=(z,x,y) através de S.
Usamos a mesma parametrização e escolhemos a normal com componente radial positiva, de modo que
d S =l(cosh(z)costheta,;cosh(z)sintheta,;-,sinh(z)cosh(z)r),dtheta,dz
Então
Phi =integral duplaSFcdot d S =integral-1^1!integral0^2pi l[zcosh(z)costheta +cosh^2(z)costhetasintheta -sinh(z)cosh^2(z)sinthetar] ,dtheta,dz
Cada termo angular integra zero sobre [0,2pi]. Portanto
Phi=0

Passo 4

Cálculo de integral duplawidetilde Srotwidetilde Fcdot dwidetilde S por Stokes.
A superfície widetilde S é a porção de catenoide de z=0 a z=1 mais o disco D1, e sua única fronteira não fechada fica em z=0, no círculo C!: x^2+y^2=1. Pelo Teorema de Stokes
integral duplawidetilde Srotwidetilde Fcdot dwidetilde S =ointCwidetilde Fcdot d r
No círculo C: z=0,;x=costheta,;y=sintheta. Logo
widetilde F=(xz,yx,zy)=(0,costhetasintheta,0), d r=(-sintheta,costheta,0),dtheta,
widetilde Fcdot d r =cos^2theta,sintheta,dtheta,
e
integral0^2picos^2thetasintheta,dtheta=0
Portanto
integral duplawidetilde Srotwidetilde Fcdot dwidetilde S=0

Passo 5

Cálculo de integral dupla Zwidetilde Fcdot d Z via Teorema da Divergência.
Para widetilde F=(xz,yx,zy) temos
nablacdotwidetilde F =partialpartial x(xz) +partialpartial y(yx) +partialpartial z(zy) =z+x+y
A região interna V é dada em coordenadas cilíndricas por
0<= r<=cosh(z), zin[-1,1], thetain[0,2pi]
Então
integral dupla Zwidetilde Fcdot d Z =integral triplaV(z+x+y),dV
Por simetria, cada termo z, x ou y integra zero. Logo
integral dupla Zwidetilde Fcdot d Z=0

Resposta

(a) 4pi+2pisinh(2).
(b) 0.
(c) 0.
(d) 0.

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