Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
D=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2<4;

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos o conjunto
D = (x,y,z)in R^3 mid x^2 + y^2 + z^2 < 4
segundo as propriedades de ser aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar definições de topologia em R^n, em particular a caracterização de bolas abertas, o conceito de conjunto limitado e o Teorema de Heine–Borel em R^3.

Passo 2

Provar que D é aberto.
Seja (x0,y0,z0)in D. Então
rho = raizx0^2 + y0^2 + z0^2 < 2
Defina r = 2 - rho > 0. Para qualquer (x,y,z) com
raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 < r
vale, pela desigualdade triangular,
raizx^2 + y^2 + z^2 <= raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 + rho < r + rho = 2,
ou seja, (x,y,z)in D. Assim existe sempre uma bola aberta centrada em (x0,y0,z0) contida em D, o que mostra que D é aberto.

Passo 3

Verificar que D não é fechado.
A fronteira de D é a esfera
(x,y,z)mid x^2 + y^2 + z^2 = 4
Considere uma sequência em D que se aproxime dessa esfera; seu limite pertence à fronteira, mas não a D. Logo D não contém todos os seus pontos-limite, portanto não é fechado.

Passo 4

Mostrar que D é limitado.
Para todo (x,y,z)in D tem-se
|(x,y,z)| = raizx^2 + y^2 + z^2 < 2
Isto implica que D está contido na bola centrada na origem de raio 2, ou seja, D é limitado.

Passo 5

Determinar se D é compacto.
No espaço R^3, um subconjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Como D é limitado, mas não é fechado, concluímos que D não é compacto.

Resposta

D é aberto, não fechado, limitado e, consequentemente, não compacto.

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