Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
;
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos o conjunto
segundo as propriedades de ser aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar definições de topologia em
, em particular a caracterização de bolas abertas, o conceito de conjunto limitado e o Teorema de Heine–Borel em
.
Passo 2
Provar que
é aberto.
Seja . Então
Seja
Defina
. Para qualquer
com
vale, pela desigualdade triangular,
ou seja,
. Assim existe sempre uma bola aberta centrada em
contida em
, o que mostra que
é aberto.
Passo 3
Verificar que
não é fechado.
A fronteira de é a esfera
A fronteira de
Considere uma sequência em
que se aproxime dessa esfera; seu limite pertence à fronteira, mas não a
. Logo
não contém todos os seus pontos-limite, portanto não é fechado.
Passo 4
Mostrar que
é limitado.
Para todo tem-se
Para todo
Isto implica que
está contido na bola centrada na origem de raio
, ou seja,
é limitado.
Passo 5
Determinar se
é compacto.
No espaço , um subconjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Como
é limitado, mas não é fechado, concluímos que
não é compacto.
No espaço