Exercício 1
As seguintes sequências têm um padrão natural de continuação. Usando tal padrão determine uma fórmula para o termo geral da sequência.
23, 32 cdot 4, 43 cdot 5, 54 cdot 6, 65 cdot 7, ldots

Passo 1

Na questão, temos a sequência 2/3,;3/(2cdot4),;4/(3cdot5),;5/(4cdot6),;6/(5cdot7),dots e queremos achar uma expressão para o termo geral an. O conteúdo é reconhecimento de padrão em sequências e precisamos definir um índice n que descreva cada termo.

Passo 2

Observando os numeradores 2,3,4,5,6,dots, vemos que eles crescem de 1 em 1 a partir de 2, o que sugere numerador n+1 quando o índice começa em n=1. Já os denominadores são 1cdot3,;2cdot4,;3cdot5,dots, isto é, o produto de n por n+2. Portanto o termo geral tem forma an=n+1n(n+2).

Passo 3

Para verificar, basta conferir os primeiros termos: para n=1, a1=(1+1)/(1cdot3)=2/3; para n=2, a2=(2+1)/(2cdot4)=3/8; para n=3, a3=(3+1)/(3cdot5)=4/15, que conferem com a sequência dada. Assim, a fórmula está correta.

Resposta

an=dfracn+1n(n+2)

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