Use derivação logarítmica para encontrar a derivada de
Passo 1
Vamos lá! Temos a função $ y = \left(\frac{(x+1)(x-1)}{\sin(x)}\right)^{5} $ e queremos encontrar a sua derivada usando derivação logarítmica. Esse método é super útil quando as funções são complicadas, como essa que tem potências e uma divisão com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer propriedades dos logaritmos e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso facilita a diferenciação porque os logaritmos transformam produtos e potências em somas e multiplicações.
Passo 3
Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente. Isso simplifica a expressão:
Passo 4
Vamos separar o logaritmo da fração usando a propriedade
:
Passo 5
Ainda aplicando propriedades dos logaritmos, vamos separar o produto dentro do logaritmo em soma:
Passo 6
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
:
Aqui, usamos:
Passo 7
Para achar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
pela expressão original que tínhamos:
Resposta
A derivada de $ y = \left(\frac{(x+1)(x-1)}{\sin(x)}\right)^{5} $ é: