Use derivação logarítmica para encontrar a derivada de y=((x+1)(x-1)sen(x))^5

Passo 1

Vamos lá! Temos a função $ y = \left(\frac{(x+1)(x-1)}{\sin(x)}\right)^{5} $ e queremos encontrar a sua derivada usando derivação logarítmica. Esse método é super útil quando as funções são complicadas, como essa que tem potências e uma divisão com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer propriedades dos logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso facilita a diferenciação porque os logaritmos transformam produtos e potências em somas e multiplicações.
ln(y) = ln(((x+1)(x-1)sin(x))^5)

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente. Isso simplifica a expressão:
ln(y) = 5 cdot ln((x+1)(x-1)sin(x))

Passo 4

Vamos separar o logaritmo da fração usando a propriedade ln(AB) = ln(A) - ln(B):
ln(y) = 5 cdot [ln((x+1)(x-1)) - ln(sin(x))]

Passo 5

Ainda aplicando propriedades dos logaritmos, vamos separar o produto dentro do logaritmo em soma:
ln(y) = 5 cdot [ln(x+1) + ln(x-1) - ln(sin(x))]

Passo 6

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que a derivada de ln(y) em relação a x é y'y:
y'y = 5 cdot (1x+1 + 1x-1 - cos(x)sin(x))
Aqui, usamos:
  • ddx ln(x+a) = 1x+a
  • ddx ln(sin(x)) = cos(x)sin(x) = cot(x)

Passo 7

Para achar y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y cdot 5 cdot (1x+1 + 1x-1 - cot(x))

Passo 8

Finalmente, substituímos y pela expressão original que tínhamos:
y' = ((x+1)(x-1)sin(x))^5 cdot 5 cdot (1x+1 + 1x-1 - cot(x))

Resposta

A derivada de $ y = \left(\frac{(x+1)(x-1)}{\sin(x)}\right)^{5} $ é:
y = ((x+1)(x-1)sin(x))^5

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