Use derivação logarítmica para encontrar a derivada de y=raiz[5]3 x+4tg(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y = raiz[5]tfrac3x+4tan x usando derivação logarítmica. O conteúdo envolve a regra da cadeia, a derivada de ln u e a derivada de tan x. Vamos precisar lembrar que tfracddxln u = tfracu'u e tfracddxtan x = sec^2 x.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural nos dois lados da igualdade:
ln y = lnl(l(tfrac3x+4tan xr)^1/5r)
Pela propriedade de potências em logaritmos, isso se torna:
ln y = tfrac15l[ln(3x+4) - ln(tan x)r]

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo:
$$\frac{d}{dx}\ln y = \frac{y

Passo 4

y} No lado direito usamos $tfracddxln(3x+4)=tfrac33x+4$ e $tfracddxln(tan x)=tfrac1tan xcdotsec^2 x$ Portanto: \frac{y’}{y} = \tfrac{1}{5}\Bigl[\tfrac{3}{3x+4} - \tfrac{\sec^2 x}{\tan x}\Bigr]$$

Passo 5

Isolamos y':
$$
y’ = y\cdot \tfrac{1}{5}\Bigl[\tfrac{3}{3x+4} - \tfrac{\sec^2 x}{\tan x}\Bigr]$$
Por fim, substituímos y' = ycdot tfrac15l[tfrac33x+4 - tfracsec^2 xtan xr] de volta para obter a forma final.

Resposta

y' = 15(3x+4tan x)^1/5(33x+4 - sec^2 xtan x)

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