5- Determine se a integral é convergente ou divergente e, sedo convergente calcule-a:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos estudar a integral imprópria
O denominador se anula em , então precisamos verificar a convergência nesse ponto e, se convergente, calcular o valor usando decomposição em frações parciais.
Passo 2
Identificamos a singularidade em porque
Portanto quebramos a integral em duas partes impróprias:
Passo 3
Para encontrar uma primitiva, decompomos
Multiplicando por e comparando coeficientes obtemos
Logo
Integrando cada parte, a primitiva geral é
Passo 4
Examinando o termo tfrac13ln|x-1| nos limites, vemos que
limxto1^-ln|x-1|=-infty e limxto1^+ln|x-1|=+infty
Isso mostra que tanto integral0^1x^2x^3-1,dx
quanto integral1^8x^2x^3-1,dx
são divergentes.