5- Determine se a integral é convergente ou divergente e, sedo convergente calcule-a:

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar a integral imprópria
integral0^8 x^2x^3-1,dx
O denominador se anula em x=1, então precisamos verificar a convergência nesse ponto e, se convergente, calcular o valor usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Identificamos a singularidade em x=1 porque
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
Portanto quebramos a integral em duas partes impróprias:
integral0^8 x^2x^3-1,dx =limbto1^-integral0^bx^2x^3-1,dx +limato1^+integrala^8x^2x^3-1,dx

Passo 3

Para encontrar uma primitiva, decompomos
x^2x^3-1 =Ax-1+Bx+Cx^2+x+1
Multiplicando por x^3-1 e comparando coeficientes obtemos
A=tfrac13, B=tfrac23, C=tfrac13
Logo
x^2x^3-1 =tfrac13x-1+tfrac23,x+tfrac13x^2+x+1
Integrando cada parte, a primitiva geral é
F(x) =13lnl|x-1r| +13integral2x+1x^2+x+1,dx =13lnl|x-1r| +13lnl(x^2+x+1r)+C =13lnl|(x-1)(x^2+x+1)r|+C

Passo 4

Examinando o termo tfrac13ln|x-1| nos limites, vemos que
limxto1^-ln|x-1|=-infty e limxto1^+ln|x-1|=+infty
Isso mostra que tanto
integral0^1x^2x^3-1,dx
quanto
integral1^8x^2x^3-1,dx
são divergentes.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados