Determine se os pares de funções abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes na reta real.
f(x)=x e^x, g(x)=|x| e^x

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=x e^x e g(x)=|x| e^x definidas em R e pede para verificar se elas são linearmente independentes ou dependentes. Vamos usar a definição de independência linear no espaço das funções reais: procuramos constantes a,b, não ambas nulas, tais que
a,f(x)+b,g(x)=0forall xinR

Passo 2

Escrevendo explicitamente a combinação linear, temos
a,x e^x+b,|x|e^x=0forall xinR
Como e^x>0 para todo x, podemos dividir ambos os lados por e^x sem perder informações:

Passo 3

a,x+b,|x|=0forall xinR

Passo 4

Analisamos em duas regiões:
Para
Para , temos , de modo que
Resolvendo o sistema
obtemos , ou seja, só a solução trivial.

Resposta

As funções f(x)=x e^x e g(x)=|x|e^x são linearmente independentes em R.

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