Determine se os pares de funções abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes na reta real.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e
definidas em
e pede para verificar se elas são linearmente independentes ou dependentes. Vamos usar a definição de independência linear no espaço das funções reais: procuramos constantes
, não ambas nulas, tais que
Passo 2
Escrevendo explicitamente a combinação linear, temos
Como
para todo
, podemos dividir ambos os lados por
sem perder informações:
Passo 3
Passo 4
Analisamos em duas regiões:
Para
Para
, temos
, de modo que
Resolvendo o sistema
obtemos , ou seja, só a solução trivial.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes em
.