Determine se a integral é convergente:
integral2^5 1raizx-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral2^5 1raizx-2,dx
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com singularidade no limite de integração. Vamos usar o teste-p para singularidades do tipo (x-a)^-p e, em seguida, calcular a antiderivada para obter o valor da integral.

Passo 2

Identificamos que a função
f(x)=1raizx-2=(x-2)^-tfrac12
é singular em x=2. Portanto a integral é imprópria no limite inferior.

Passo 3

Aplicamos o teste-p para integrais da forma
integrala^b(x-a)^-pdx,
que converge se e somente se p<1. Aqui temos p=tfrac12<1, logo a integral converge.

Passo 4

Para encontrar o valor, calculamos a antiderivada de f(x). Sabemos que
integral (x-2)^-tfrac12dx = 2,(x-2)^tfrac12

Passo 5

A integral imprópria fica
limvarepsilonto0^+integral2+varepsilon^5(x-2)^-tfrac12dx =limvarepsilonto0^+l[2raizx-2r]2+varepsilon^5 =2raiz5-2-underbrace2raizvarepsilonto0 =2raiz3

Resposta

A integral é convergente e vale 2raiz3.

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