Determine se a integral a seguir converge:
integral-infty^infty 11+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral-infty^infty 11+x^2,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais pelo método de antiderivada e tratamento de limites em integrais impróprias no infinito.

Passo 2

Como o integral é sobre todo o eixo real, dividimos em duas integrais impróprias e usamos a paridade de f(x)=1/(1+x^2), que é função par (ou seja, f(-x)=f(x)). Assim podemos escrever
integral-infty^infty 11+x^2,dx =limRtoinftyintegral-R^R11+x^2,dx =2limRtoinftyintegral0^R11+x^2,dx

Passo 3

A antiderivada de 1/(1+x^2) é arctan(x). Logo, para cada R>0,
integral0^R11+x^2,dx =l[arctan(x)r]0^R =arctan(R)-arctan(0) =arctan(R)
Tomando o limite quando Rtoinfty, temos
limRtoinftyarctan(R)=pi2
Portanto
2limRtoinftyintegral0^R11+x^2,dx =2cdotpi2 =pi

Passo 4

Como o valor obtido é finito ( pi), concluímos que a integral converge e seu valor é pi.

Resposta

A integral converge e vale pi.

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