Determine a integral dupla \int_{0}^{4} \int_{0}^{3 x / 2} \sqrt{16-x^{2}} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\tfrac{3x}{2}}\sqrt{16 - x^{2}}\;dy\,dx.
Estamos em Cálculo II, lidando com integrais duplas em coordenadas retangulares. Como o integrando \sqrt{16 - x^{2}} independe de y, vamos primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{\tfrac{3x}{2}}\sqrt{16 - x^{2}}\;dy =\sqrt{16 - x^{2}}\;\biggl[y\biggr]_{0}^{\tfrac{3x}{2}} =\sqrt{16 - x^{2}}\cdot\frac{3x}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
\int_{0}^{4}\frac{3x}{2}\,\sqrt{16 - x^{2}}\;dx =\frac{3}{2}\int_{0}^{4}x\sqrt{16 - x^{2}}\;dx.
Para avaliar essa integral em x, usamos a substituição
u = 16 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx, \quad x\,dx = -\frac{du}{2}.

Passo 4

Mudando os limites: quando x=0, u=16; quando x=4, u=0. Logo,
\frac{3}{2}\int_{0}^{4}x\sqrt{16 - x^{2}}\;dx =\frac{3}{2}\int_{16}^{0}\sqrt{u}\,\Bigl(-\frac{du}{2}\Bigr) =\frac{3}{4}\int_{0}^{16}u^{\frac12}\;du.
Agora integramos em u:
\frac{3}{4}\int_{0}^{16}u^{\frac12}\;du =\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\frac32}\Bigl\vert_{0}^{16} =\frac{1}{2}\,16^{\frac32} =\frac{1}{2}\cdot64 =32.

Resposta

32

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