Resolva a EDO:
x e^{-y} \operatorname{sen}(x) d x-y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x e^{-y}\sin(x)\,dx - y\,dy = 0.
Este é um problema de EDO de primeira ordem que não é exata à primeira vista. Vamos usar fator integrante dependente só de y para torná-la exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x e^{-y}\sin(x), \quad N(x,y) = -y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -\,x e^{-y}\sin(x), \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 0,
logo \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, não é exata.

Passo 3

Para ver se há fator integrante \mu(y), usamos a condição
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{0-(-x e^{-y}\sin(x))}{x e^{-y}\sin(x)} =1,
que depende apenas de y. Portanto
\mu(y) = \exp\Bigl(\int 1\,dy\Bigr) = e^y.

Passo 4

Multiplicamos a EDO por e^y, obtendo
x\sin(x)\,dx \;-\;y e^y\,dy = 0.
Agora
M^*(x,y)=x\sin(x), \quad N^*(x,y)=-y e^y,
e \partial M^*/\partial y=0=\partial N^*/\partial x, de modo que a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M^*(x,y) = x\sin(x).
Integramos em x:
F(x,y) = \int x\sin(x)\,dx + g(y) = -\,x\cos(x) + \sin(x) + g(y).

Passo 6

Impondo
\frac{\partial F}{\partial y} = g'(y) = N^*(x,y) = -\,y e^y,
temos
g'(y) = -y e^y \quad\Longrightarrow\quad g(y) = -\int y e^y\,dy = -\bigl(y e^y - e^y\bigr) = -y e^y + e^y.

Passo 7

Reunindo, a solução implícita é
F(x,y) = -\,x\cos(x) + \sin(x) \;-\; y e^y + e^y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

-\,x\cos(x) + \sin(x) + e^y\bigl(1 - y\bigr) = C.

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