Faça o esboço do gráfico de f:
f(x)=e^x-e^3 x

Passo 1

O problema pede para fazermos o esboço do gráfico da função f(x)=e^x - e^3x. Vamos usar conceitos de domínio, interceptos, limites, derivadas para monotonia e concavidade.

Passo 2

Verificamos o domínio e os interceptos. O domínio é ( -infty, +infty ). Para o intercepto com o eixo x (e também o eixo y), resolvemos f(x)=0:
e^x - e^3x = 0 implies e^x(1 - e^2x)=0 implies e^2x=1 implies x=0
O ponto de interseção é (0,0).

Passo 3

Analisamos os limites para identificar assíntotas horizontais. Quando x to -infty, temos e^xto0 e e^3xto0, logo f(x)to0. Há, portanto, uma assíntota horizontal y=0 à esquerda. Quando xto+infty, e^3x domina e f(x)sim -e^3xto -infty, sem outra assíntota.

Passo 4

Calculamos a primeira derivada para estudar monotonia:
f'(x)=e^x - 3e^3x=e^x(1-3e^2x)
Zerando: 1-3e^2x=0 e^2x=1/3 e
xc = -tfrac12ln3
Para x, f'(x)>0 (a função sobe) e para x>xc, f'(x)<0 (a função desce). Há, portanto, um máximo local em xc.

Passo 5

Determinamos o valor do máximo local substituindo xc em f:
f(xc)=e^-tfrac12ln3-e^3(-tfrac12ln3)=3^-1/2-3^-3/2=1raiz3-13raiz3=23raiz3approx0,385

Passo 6

Calculamos a segunda derivada para avaliar concavidade:
f''(x)=e^x -9e^3x=e^x(1-9e^2x)
Zerando dá e^2x=1/9 e
xinf=-tfrac12ln9=-ln3
Para x, f''(x)>0 (côncava para cima) e para x>xinf, f''(x)<0 (côncava para baixo).

Passo 7

Com todas as informações reunidas, traçamos o esboço: à esquerda a curva se aproxima de y=0 por cima, sobe até o máximo em x=-tfrac12ln3, depois desce, passa em (0,0) e cai rapidamente para -infty, mudando de concavidade em x=-ln3.

Resposta

Esboço qualitativo do gráfico de f(x)=e^x-e^3x:
– A função está definida em ( -infty, +infty ).
– Há assíntota horizontal y=0 quando xto-infty.
– Intercepto em (0,0).
– Máximo local em x=-tfrac12ln3, com valor f=-tfrac23raiz3approx0,385.
– A função sobe até esse ponto e depois desce, tendendo a -infty quando xto+infty.
– Ponto de inflexão em x=-ln3, onde muda de concavidade de acima para abaixo.
Com isso, basta desenhar a curva passando por esses marcos, respeitando comportamentos de assíntota, máximo, intercepto e decaimento para produzir o esboço.

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