Faça o esboço do gráfico de f:
Passo 1
O problema pede para fazermos o esboço do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de domínio, interceptos, limites, derivadas para monotonia e concavidade.
Passo 2
Verificamos o domínio e os interceptos. O domínio é
. Para o intercepto com o eixo
(e também o eixo
), resolvemos
:
O ponto de interseção é
.
Passo 3
Analisamos os limites para identificar assíntotas horizontais. Quando
, temos
e
, logo
. Há, portanto, uma assíntota horizontal
à esquerda. Quando
,
domina e
, sem outra assíntota.
Passo 4
Calculamos a primeira derivada para estudar monotonia:
Zerando:
dá
e
Para
,
(a função sobe) e para
,
(a função desce). Há, portanto, um máximo local em
.
Passo 5
Determinamos o valor do máximo local substituindo
em
:
Passo 6
Calculamos a segunda derivada para avaliar concavidade:
Zerando dá
e
Para
,
(côncava para cima) e para
,
(côncava para baixo).
Passo 7
Com todas as informações reunidas, traçamos o esboço: à esquerda a curva se aproxima de
por cima, sobe até o máximo em
, depois desce, passa em
e cai rapidamente para
, mudando de concavidade em
.
Resposta
Esboço qualitativo do gráfico de
:
– A função está definida em
.
– Há assíntota horizontal quando
.
– Intercepto em .
– Máximo local em , com valor
.
– A função sobe até esse ponto e depois desce, tendendo a quando
.
– Ponto de inflexão em , onde muda de concavidade de acima para abaixo.
– Há assíntota horizontal
– Intercepto em
– Máximo local em
– A função sobe até esse ponto e depois desce, tendendo a
– Ponto de inflexão em
Com isso, basta desenhar a curva passando por esses marcos, respeitando comportamentos de assíntota, máximo, intercepto e decaimento para produzir o esboço.