Determine integral duplaR 2 y d A, onde R é a região limitada pelas curvas x^2+y^2=x, x^2+y^2=4 x, y=1raiz3 x e y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬₍R₎ 2y dA, sendo R a região limitada pelas curvas x²+y² = x, x²+y² = 4x, y = x/√3 e y = x. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e vamos precisar usar as transformações x = r cosθ, y = r sinθ e dA = r
dr
dθ.

Passo 2

Precisamos descrever as fronteiras em polares. As circunferências x²+y² = x e x²+y² = 4x viram r² = r cosθ e r² = 4r cosθ, ou seja r = cosθ e r = 4 cosθ. As retas y = x/√3 e y = x viram θ = π/6 e θ = π/4, respectivamente.

Passo 3

Montamos a integral em coordenadas polares. O integrando 2y vira 2(r sinθ) e dA vira r
dr
dθ. Então

Passo 4

Para resolver a integral interna em r, integramos r²:
integralcosθ^4cosθ2r^2,dr = 23l[r^3r]cosθ^4cosθ = 23l((4cosθ)^3 - (cosθ)^3r) = 42sinθ,cos^3θ

Passo 5

Agora só falta a integral em θ:
integralπ/6^π/442sinθ,cos^3θ,dθ

Passo 6

Fazendo u = cosθ, du = -sinθ
dθ, temos
integral42sinθ,cos^3θ,dθ = -42integral u^3,du = -tfrac424u^4 = -10,5,cos^4θ

Passo 7

Avalia de θ=π/6 a θ=π/4:
-10,5cos^4l(tfracπ4r) - l(-10,5cos^4l(tfracπ6r)r) = -10,5cdottfrac14 + 10,5cdottfrac916 = tfrac10532

Resposta

105/32

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