Determine
, onde
é a região limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬₍R₎ 2y dA, sendo R a região limitada pelas curvas x²+y² = x, x²+y² = 4x, y = x/√3 e y = x. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e vamos precisar usar as transformações x = r cosθ, y = r sinθ e dA = r
dr
dθ.
dr
dθ.
Passo 2
Precisamos descrever as fronteiras em polares. As circunferências x²+y² = x e x²+y² = 4x viram r² = r cosθ e r² = 4r cosθ, ou seja r = cosθ e r = 4 cosθ. As retas y = x/√3 e y = x viram θ = π/6 e θ = π/4, respectivamente.
Passo 3
Montamos a integral em coordenadas polares. O integrando 2y vira 2(r sinθ) e dA vira r
dr
dθ. Então
dr
dθ. Então
Passo 4
Para resolver a integral interna em r, integramos r²:
Passo 5
Agora só falta a integral em θ:
Passo 6
Fazendo u = cosθ, du = -sinθ
dθ, temos
dθ, temos
Passo 7
Avalia de θ=π/6 a θ=π/4:
Resposta
105/32