Use integral dupla para calcular o volume do sólido delimitado por
,
e
. Esboce o sólido.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do paraboloide
, acima do plano
e cujas arestas na base são dadas pelas retas
,
e
. Vamos usar integral dupla para isso.
Passo 2
Para aplicar a integral dupla, primeiro identificamos a região
no plano
. Ela é o triângulo com vértices em
,
e
, ou seja,
[D={(x,y)\mid 0\le x\le y\le 2},.
Passo 3
Essa descrição nos permite escolher a ordem de integração: fixamos
de 0 a 2 e, para cada
,
vai de
a 2.
O volume é dado por
O volume é dado por
Passo 4
Em notação iterada:
Passo 5
Agora calculamos a integral interna em
:
Passo 6
Em seguida, integramos esse resultado em
:
Passo 7
Ao avaliar em
e
obtemos
Passo 8
Para esboçar o sólido: a base é o triângulo no plano
delimitado por
,
e
; sobre essa base ergue-se o paraboloide
até a altura onde intersecta
, fechando o volume.
Resposta
8