Use integral dupla para calcular o volume do sólido delimitado por z=3 x^2+y^2, y=x, y=2, z=0 e x=0. Esboce o sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do paraboloide z = 3x^2 + y^2, acima do plano z=0 e cujas arestas na base são dadas pelas retas x=0, y=x e y=2. Vamos usar integral dupla para isso.

Passo 2

Para aplicar a integral dupla, primeiro identificamos a região D no plano xy. Ela é o triângulo com vértices em (0,0), (0,2) e (2,2), ou seja,
[D={(x,y)\mid 0\le x\le y\le 2},.

Passo 3

Essa descrição nos permite escolher a ordem de integração: fixamos x de 0 a 2 e, para cada x, y vai de x a 2.
O volume é dado por
V=integral duplaD(3x^2+y^2),dA

Passo 4

Em notação iterada:
V=integralx=0^2l(integraly=x^2(3x^2+y^2),dyr)dx

Passo 5

Agora calculamos a integral interna em y:
integraly=x^2(3x^2+y^2),dy = 3x^2l(2-xr) + 2^3 - x^33 = 6x^2 - 3x^3 + 8 - x^33 = 6x^2 - 103x^3 + 83

Passo 6

Em seguida, integramos esse resultado em x:
V=integral0^2l(6x^2 - tfrac103x^3 + tfrac83r)dx = l[2x^3 - tfrac56x^4 + tfrac83xr]0^2

Passo 7

Ao avaliar em x=2 e x=0 obtemos
V = l(16 - tfrac806 + tfrac163r) - 0 = 8

Passo 8

Para esboçar o sólido: a base é o triângulo no plano xy delimitado por x=0, y=x e y=2; sobre essa base ergue-se o paraboloide z=3x^2+y^2 até a altura onde intersecta z=0, fechando o volume.

Resposta

8

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