Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
34. Se o gráfico de
tiver uma assíntota horizontal quando
, então a sequência
convergirá.
34. Se o gráfico de
Passo 1
O enunciado afirma que se existir uma assíntota horizontal y = L para f(x) quando x → +∞, então a sequência \{f(n)\} converge. O conteúdo aqui é limite de funções e relação desse limite com limites de sequência.
Passo 2
Da definição de assíntota horizontal, sabemos que
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = L
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = L
$$
Isso significa que para todo \\varepsilon > 0 existem M > 0 tais que, sempre que x > M, vale \\displaystyle |f(x) - L| < \\varepsilon.
Passo 3
Como os números naturais n satisfazem n > M sempre que n for suficientemente grande, temos que, para esses n, n > M implica x = n > M e portanto \\displaystyle |f(n) - L| < \\varepsilon. Isso mostra exatamente que
$$
\lim_{n \to +\infty} f(n) = L
$$
\lim_{n \to +\infty} f(n) = L
$$
Passo 4
Logo, a sequência \{f(n)\} converge para o mesmo valor L da assíntota horizontal.
Resposta
Verdadeiro