Resolva as seguintes equações diferenciais:
(x+y)-(x-y) y^prime=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial (x + y) - (x - y) y^prime = 0. Esse tipo de equação envolve derivadas e funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar y^prime e então realizar integrações apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar y^prime. Começamos com:
(x + y) - (x - y) y^prime = 0
Isso pode ser reescrito como:
(x - y) y^prime = x + y
Agora, isolamos y^prime:
y^prime = x + yx - y

Passo 3

Temos agora a derivada dydx em termos de x e y:
dydx = x + yx - y
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis x e y. Isso significa manipular a equação para que todos os termos envolvendo y fiquem de um lado e os termos envolvendo x fiquem do outro.

Passo 4

Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis:
(x - y) dy = (x + y) dx
Isso nos dá:
x , dy - y , dy = x , dx + y , dx

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos de x e y:
x , dy - x , dx = y , dx + y , dy
Podemos fatorar x do lado esquerdo e y do lado direito:
x(dy - dx) = y(dx + dy)

Passo 6

Para simplificar, faremos uma substituição de variável. Vamos definir:
v = yx
Isso implica que:
y = v , x
E a derivada de y em relação a x será:
y^prime = v + x , dvdx

Passo 7

Substituindo y = v , x e y^prime = v + x dvdx na equação original:
v + x dvdx = x + v xx - v x
Simplificando o lado direito:
v + x dvdx = 1 + v1 - v

Passo 8

Isolamos x dvdx:
x dvdx = 1 + v1 - v - v
Simplificando a expressão à direita:
x dvdx = 1 + v - v(1 - v)1 - v = 1 + v^21 - v

Passo 9

Agora, temos uma equação separável:
1 - v1 + v^2 dv = 1x dx
Isso permite que a gente integre os dois lados separadamente.

Passo 10

Integrando ambos os lados:
integral 1 - v1 + v^2 dv = integral 1x dx
Para o lado esquerdo, separamos as frações:
integral 11 + v^2 dv - integral v1 + v^2 dv
As integrais resolvidas ficam:
arctan(v) - 12 ln|1 + v^2| = ln|x| + C

Passo 11

Substituímos v = yx de volta na equação:
arctan(yx) - 12 ln(1 + (yx)^2) = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
arctan(yx) - 12 ln(1 + (yx)^2) = ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

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