Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação envolve derivadas e funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar
e então realizar integrações apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Começamos com:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Temos agora a derivada
em termos de
e
:
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis
e
. Isso significa manipular a equação para que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro.
Passo 4
Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos de
e
:
Podemos fatorar
do lado esquerdo e
do lado direito:
Passo 6
Para simplificar, faremos uma substituição de variável. Vamos definir:
Isso implica que:
E a derivada de
em relação a
será:
Passo 7
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 8
Isolamos
:
Simplificando a expressão à direita:
Passo 9
Agora, temos uma equação separável:
Isso permite que a gente integre os dois lados separadamente.
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Para o lado esquerdo, separamos as frações:
As integrais resolvidas ficam:
Passo 11
Substituímos
de volta na equação:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.