Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sum x^nn !

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^inftyx^nn!
Esse conteúdo pertence a séries de potências, e vamos usar o teste da razão e a definição de raio de convergência para resolver.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, lembramos que, para uma série sum an, definimos
L = limntoinfty|an+1an|
Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo. Quando L for finito, o raio de convergência é dado por R = 1/L.

Passo 3

No nosso caso, an = x^nn!. Calculamos
|an+1an| = |x^n+1(n+1)!x^nn!| = |xn+1|
Em seguida,
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|xn+1| = 0

Passo 4

Como o limite 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente para qualquer x. Logo o raio de convergência é infinito e, consequentemente, o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é .

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