Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Esse conteúdo pertence a séries de potências, e vamos usar o teste da razão e a definição de raio de convergência para resolver.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, lembramos que, para uma série , definimos
Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo. Quando L for finito, o raio de convergência é dado por R = 1/L.
Passo 3
No nosso caso, an = x^nn!. Calculamos
|an+1an| = |x^n+1(n+1)!x^nn!| = |xn+1|
Em seguida,
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|xn+1| = 0
Passo 4
Como o limite 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente para qualquer x. Logo o raio de convergência é infinito e, consequentemente, o intervalo de convergência é todo o eixo real.
Resposta
O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é .