Determine a integral da função f(x)=x cdot cos (pi x)

Passo 1

Nesta questão queremos calcular a integral indefinida de f(x)=xcos(pi x). O conteúdo principal aqui é integração por partes, então vamos usar a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Definimos u = x e dv = cos(pi x),dx, pois assim du = dx e podemos encontrar facilmente v integrando dv.

Passo 3

Para obter v, calculamos
integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x)
Então v = 1pisin(pi x).

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
integral xcos(pi x),dx = u v - integral v,du = xcdot1pisin(pi x) - integral 1pisin(pi x),dx

Passo 5

Agora calculamos
integral 1pisin(pi x),dx = 1pi integral sin(pi x),dx = 1picdotl(-1picos(pi x)r) = -1pi^2cos(pi x)

Passo 6

Substituindo de volta, temos
integral xcos(pi x),dx = xpisin(pi x) - l(-1pi^2cos(pi x)r) + C = xpisin(pi x) + 1pi^2cos(pi x) + C

Resposta

integral x cos(pi x),dx = xpisin(pi x) + 1pi^2cos(pi x) + C

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