Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
A área da superfície parametrizada por r(u, v)=u i+g(u, v) j+v k, com (u, v) pertencente a um retângulo R no plano u v, é dada por
integral duplaR|gu times gv| d u d v

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a área da superfície parametrizada por r(u,v)=u,i+g(u,v),j+v,k sobre o retângulo R é dada por integral duplaR|gutimes gv|,du,dv. O conteúdo envolve cálculo de área de superfície via produto vetorial das derivadas parciais.

Passo 2

Para calcular a área, devemos usar ru e rv, onde
ru=partial rpartial u=(1,,gu,,0), rv=partial rpartial v=(0,,gv,,1)

Passo 3

O produto vetorial é
rutimes rv=(1,,gu,,0)times(0,,gv,,1)=(gu,,-1,,gv), e sua norma é
|rutimes rv|=raizgu^2+(-1)^2+gv^2=raiz1+gu^2+gv^2

Passo 4

Logo, a área correta é
integral duplaR|rutimes rv|,du,dv=integral duplaRraiz1+gu^2+gv^2,du,dv,
e não integral duplaR|gutimes gv|,du,dv, pois gu e gv são escalares e não vetores. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falso

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